🕰️ Le pendule simple
Galilée, raconte-t-on, a découvert les lois du pendule en regardant osciller un lustre de la cathédrale de Pise… au lieu d'écouter le sermon. À ton tour : règle la longueur, change de planète, lâche la boule de très haut, ou lance-la assez fort pour lui faire faire un looping. Ici, aucune approximation : c'est la vraie équation du pendule qui est résolue en direct.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La boule va le plus vite au point le plus bas, là où Epp est nulle ; elle s'arrête un instant aux extrémités, où toute l'énergie est potentielle.
- Sans frottements, la barre Em ne bouge pas : l'énergie passe sans cesse de la forme cinétique à la forme potentielle, et inversement.
- Le fantôme violet suit l'approximation des petits angles (sin θ ≈ θ). À 10°, il colle à la boule ; à 90°, il prend de l'avance, car la vraie période est plus longue.
- Avec des frottements, l'amplitude et l'énergie mécanique diminuent, mais la période ne change presque pas.
- Au-delà d'une certaine vitesse de lancement, la boule passe par-dessus l'axe : le pendule ne revient plus en arrière, il tourne.
Expériences à faire
- En 1790, on a proposé de définir le mètre comme la longueur d'un pendule qui « bat la seconde » (période de 2 s). Quelle longueur trouves-tu sur Terre ? Et sur la Lune, ou sur l'astre de ton choix (« ✏️ Mon astre ») ?
- Si tu multiplies la longueur par 4, la période est-elle multipliée par 2 ou par 4 ?
- Lâche la boule à 10°, puis à 90°, puis à 170° : comment évolue l'écart entre T et T0 ?
- Depuis le point bas, avec L = 1 m sur Terre, quelle vitesse minimale faut-il pour faire un tour complet ? Compare avec 2√(gL).
- Multiplie la masse de la boule par 10 : la période change-t-elle ? Et les énergies ? Pourquoi ?
La physique derrière l'animation
- Théorème du moment cinétique (ou deuxième loi de Newton projetée) : d²θ/dt² + (g/L) sin θ = 0. Cette équation est non linéaire : on la résout ici numériquement (méthode de Runge-Kutta d'ordre 4).
- Aux petits angles, sin θ ≈ θ (en radians) : on retrouve un oscillateur harmonique de période propre T0 = 2π √(L/g), qui ne dépend ni de la masse ni de l'amplitude (isochronisme des petites oscillations).
- Aux grands angles, la période augmente : T ≈ T0 × (1 + θ0²/16), avec θ0 en radians. À 90°, T ≈ 1,18 × T0 ; près de 180°, la période devient très longue.
- Énergies, avec l'origine de l'énergie potentielle au point le plus bas : Ec = ½ m v² avec v = L × dθ/dt, et Epp = m g L (1 − cos θ). Sans frottements, Em = Ec + Epp se conserve.
- Tour complet avec une tige rigide : il faut arriver en haut avec Em > 2 m g L, soit v0 > 2√(gL) depuis le point bas. Avec un fil souple, il faudrait v0 > √(5 g L) pour que le fil reste tendu en haut.
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