🪀 Le pendule de torsion et le pendule pesant
Un fil d'acier qu'on tord a de la mémoire : lâche la barre, et il la ramène… un peu trop loin, puis encore, et encore. Écarte les masses pour voir la période s'allonger, plonge la palette dans l'huile pour calmer le jeu. Puis passe au pendule pesant : une simple règle percée suspendue par un trou, qui cache un pendule simple invisible et un secret qui a servi à mesurer g pendant un siècle.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le fil tordu exerce un couple de rappel Γ proportionnel à l'angle : la barre oscille de part et d'autre de sa position d'équilibre, et le graphe θ(t) est une sinusoïde parfaite.
- Quand tu éloignes les masses de l'axe, le moment d'inertie J augmente (barre orange dans la vue de côté) : le solide « résiste » davantage aux changements de rotation et la période s'allonge.
- Sans frottement, l'énergie passe sans cesse de la forme élastique ½Cθ² (fil tordu) à la forme cinétique ½Jω² (solide qui tourne à la vitesse angulaire ω = dθ/dt) : Em reste constante. La palette dans l'huile la fait diminuer.
- Le pendule pesant oscille comme un pendule simple de longueur ℓéq (boule verte), qui n'est ni la distance OG ni la longueur de la règle. Aux grands angles, il prend du retard sur le fantôme violet des petits angles.
- La période du pendule pesant n'est pas la plus courte quand l'axe est au bout de la règle : elle passe par un minimum quand l'axe est à environ 29 cm du centre.
Expériences à faire
- Lâche la barre à 20°, puis à 170° : la période du pendule de torsion change-t-elle ? Et celle du pendule pesant ?
- Mesure la période pour deux positions des masses, puis retrouve C et J0 à partir de T² = 4π²(J0 + 2md²)/C : c'est exactement ce qu'on fait en TP.
- Avec la règle percée, approche l'axe de G centimètre par centimètre : que devient la période quand d tend vers 0 ? Pourquoi ?
- Pour d = 20 cm, calcule d′ = ℓ²/(12d) puis place l'axe en d′ : que remarques-tu sur les deux périodes ?
- Pourquoi la masse de la règle (500 g) ou du disque (2 kg) n'a-t-elle aucune influence sur la période du pendule pesant ? Vérifie-le avec « ✏️ Mon solide » en doublant à la fois m et JG, puis essaie le même pendule sur la Lune (g = 1,62 m/s²).
La physique derrière l'animation
- Pendule de torsion : le fil exerce un couple de rappel Γ = −C θ (C : constante de torsion, en N·m/rad). Le théorème du moment cinétique sur l'axe du fil donne J × d²θ/dt² = −C θ − h dθ/dt, intégrée ici par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4. Sans frottement, θ(t) = θ0 cos(ω0t) avec ω0 = √(C/J) : T0 = 2π√(J/C), quelle que soit l'amplitude.
- Moment d'inertie : J = Σ mi ri². Barre de masse M et de longueur ℓ autour de son milieu : Mℓ²/12 ; disque de rayon R autour de son axe : MR²/2 ; deux masses ponctuelles à la distance d : 2md². D'où J = J0 + 2md² : pour doubler la période, il faut quadrupler J.
- Énergies : énergie potentielle élastique de torsion Ep = ½Cθ² et énergie cinétique de rotation Ec = ½J ω², avec ω = dθ/dt. Le frottement fluide de la palette dissipe la puissance h ω² ; facteur de qualité Q = √(JC)/h.
- Pendule pesant : autour de l'axe horizontal O, le moment du poids vaut −m g d sin θ, donc J θ̈ = −m g d sin θ, avec J = JG + m d² (théorème de Huygens). Aux petits angles (sin θ ≈ θ), T0 = 2π√(J/(m g d)) ; aux grands angles la vraie période est plus longue.
- C'est l'équation d'un pendule simple de longueur ℓéq = J/(m d) = d + JG/(m d). Pour la règle, ℓéq = d + ℓ²/(12d) est minimale pour d = ℓ/√12 ≈ 28,9 cm et prend la même valeur pour d et d′ = ℓ²/(12d) : c'est le principe du pendule réversible de Kater, qui a permis de mesurer g avec une grande précision.
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