🎂 Le paradoxe des anniversaires
Dans ta classe de 30 élèves, parie avec ton voisin que deux élèves ont le même anniversaire : tu as environ 70 % de chances de gagner ! Avec 23 personnes seulement, c'est déjà plus d'une chance sur deux. Ça semble fou ? Remplis des classes au hasard, regarde les rayons rouges s'allumer sur la roue de l'année, et fais le calcul pour comprendre.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque élève reçoit un jour de naissance au hasard et se pose sur la roue de l'année : un rayon par jour, plus loin du centre s'il est arrivé plus tard. Deux élèves sur le même rayon ont le même anniversaire : le rayon s'allume en rouge.
- La courbe donne P(A), la probabilité qu'au moins deux personnes du groupe partagent leur anniversaire, en fonction de n. Elle monte très vite : elle passe la barre de 1 chance sur 2 bien avant 50 personnes.
- Les points orange sont les fréquences obtenues en simulant des groupes : avec beaucoup de groupes, ils se posent sur la courbe (loi des grands nombres).
- La courbe violette (comparaison) donne la probabilité que quelqu'un ait TON anniversaire : elle monte beaucoup plus lentement. Le paradoxe vient des paires : avec n personnes, il y a n(n − 1)/2 paires qui peuvent coïncider, 253 pour 23 personnes !
- Avec N = 12 (mois), N = 7 (jours de la semaine) ou N = 10 000 (codes PIN), le même calcul montre que les coïncidences arrivent bien plus tôt qu'on ne le croit.
Expériences à faire
- Dans une classe de 30 élèves, quelle est la probabilité que deux élèves aient le même anniversaire ? Et dans un lycée de 366 élèves ?
- Simule 100 classes de 23 élèves : combien ont un anniversaire commun ? Recommence : le résultat change-t-il beaucoup ?
- Pourquoi la probabilité que quelqu'un ait TON anniversaire est-elle bien plus petite que celle d'avoir deux anniversaires identiques ?
- Dans un lycée de 100 élèves, quelle est la probabilité que deux élèves aient le même code PIN à 4 chiffres ?
- Avec ✏️ Mes valeurs, combien de personnes faut-il pour avoir une chance sur deux d'une coïncidence quand il y a N = 1 000 valeurs possibles ? Compare avec √N.
Les maths derrière l'animation
- On suppose les N = 365 jours équiprobables et les naissances indépendantes. Une liste de n jours de naissance est un n-uplet : il y en a 365n, toutes équiprobables.
- Les listes de jours tous différents sont des arrangements : il y en a 365 × 364 × … × (365 − n + 1) = 365!/(365 − n)!.
- On passe par l'événement contraire Ā « tous les anniversaires sont différents » : P(Ā) = (365 × 364 × … × (365 − n + 1))/365n et P(A) = 1 − P(Ā). Pour n = 23, P(A) ≈ 0,507.
- Si n > 365, deux personnes ont forcément le même anniversaire : P(A) = 1 (principe des tiroirs). La probabilité que quelqu'un parmi les n − 1 autres ait TON anniversaire vaut seulement 1 − (364/365)n−1.
- Simulation : la fréquence f des groupes avec un anniversaire commun se rapproche de P(A) quand le nombre de groupes simulés augmente (loi des grands nombres).
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