🧮 Les nombres premiers : crible, arbre et infinité
Les nombres premiers sont les briques de LEGO des entiers : impossible de les casser, et avec elles on fabrique tous les autres. Ératosthène les triait avec un « tamis » il y a 2 200 ans, et Euclide a prouvé qu'on n'en manquerait jamais. À toi de tamiser, de casser… et de chercher la dernière brique (attention, spoiler : elle n'existe pas).
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Dans le crible, le premier nombre non barré est toujours premier : aucun nombre plus petit ne le divise. On barre alors tous ses multiples, chacun dans la couleur de ce nombre premier.
- On commence à barrer à p² : les multiples plus petits, comme 2 × 7 ou 3 × 7, ont déjà été barrés par 2 ou par 3. Et dès que p² dépasse N, on peut s'arrêter : tout ce qui reste est premier.
- Avec 6 colonnes, les nombres premiers plus grands que 3 se rangent dans deux colonnes seulement : ils sont de la forme 6k + 1 ou 6k + 5.
- Dans l'arbre, chaque nombre se casse en deux facteurs jusqu'à n'avoir que des feuilles premières. Avec des diviseurs au hasard, l'arbre change de forme, mais les feuilles restent les mêmes : la décomposition est unique.
- Dans la preuve d'Euclide, aucun nombre de la liste ne divise N = produit + 1 (il reste toujours 1) : les facteurs premiers de N sont forcément nouveaux.
Expériences à faire
- Combien y a-t-il de nombres premiers entre 1 et 100 ? Et entre 1 et 200 ? Se raréfient-ils ?
- Jusqu'à quel N le crible n'a-t-il besoin que des multiples de 2, 3 et 5 ?
- Fais pousser plusieurs fois l'arbre de 720 720 avec « un diviseur au hasard » : que remarques-tu sur les feuilles ?
- Combien de diviseurs a 360 ? Trouve un nombre inférieur à 1 000 qui en a encore plus.
- Avec ta propre liste, le nombre N = produit + 1 est-il toujours premier ? Est-ce grave pour la preuve d'Euclide ?
Les maths derrière l'animation
- Nombre premier : entier naturel qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. 1 n'est pas premier ; 2 est le seul nombre premier pair.
- Test de primalité : si n ≥ 2 n'a aucun diviseur premier p ≤ √n, alors n est premier. C'est pourquoi le crible jusqu'à N s'arrête dès que p² > N.
- Décomposition en facteurs premiers : tout entier n ≥ 2 s'écrit de façon unique, à l'ordre près, n = p1α1 × … × pkαk. Exemple : 360 = 23 × 32 × 5.
- Nombre de diviseurs : n a (α1 + 1)(α2 + 1)…(αk + 1) diviseurs ; 360 en a 4 × 3 × 2 = 24.
- Infinité (Euclide) : pour toute liste finie p1, …, pk de nombres premiers, N = p1 × … × pk + 1 a un facteur premier qui n'est pas dans la liste. Il existe donc une infinité de nombres premiers.
D'autres animations
La droite numérique : intervalles et valeur absolue
Fais glisser les bornes, retourne les crochets, croise deux intervalles : I ∩ J, I ∪ J, distance |b − a| et |x − c| ≤ r en direct.
Manipuler →Le zoo des nombres : entiers, décimaux, rationnels et réels
Range n'importe quel nombre dans les enclos emboîtés ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ, puis pars à la chasse à la fraction qui vaudrait √2.
Manipuler →L'équation et la balance
Résous ax + b = cx + d sur une balance : agis sur les deux plateaux pour isoler le sac x… et regarde-la pencher si tu triches !
Manipuler →Et maintenant, on passe aux choses sérieuses ? 😉
ExpoSinus est un site d'éducation : les jeux et les articles sont là pour donner envie, les cours et les exercices pour progresser vraiment.