🌀 Les nombres complexes dans le plan
Les nombres complexes ont un nom qui fait peur, mais ce sont simplement des points du plan… qui savent tourner ! Attrape z et w, additionne-les, multiplie-les, élève-les au cube, et découvre pourquoi multiplier par i revient à faire un quart de tour.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Un nombre complexe z = a + ib est un point du plan : a est son abscisse (partie réelle) et b son ordonnée (partie imaginaire). Son module |z| est sa distance à O, son argument θ l'angle qu'il fait avec l'axe réel.
- La somme z + w se construit comme une somme de vecteurs : c'est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur z et w.
- Le produit z × w a pour module |z| × |w| et pour argument θ + φ : multiplier par z, c'est tourner de l'angle θ puis agrandir (ou réduire) dans le rapport |z|. Les deux triangles colorés sont semblables.
- Le conjugué z̄ est le symétrique de z par rapport à l'axe réel, et l'inverse 1/z est sur la même demi-droite que z̄, à la distance 1/|z| de O.
- Les puissances z, z², z³… s'enroulent en spirale (formule de Moivre). Quand |z| = 1, elles restent sur le cercle unité, et les solutions de zⁿ = 1 forment un polygone régulier à n côtés.
Expériences à faire
- Place w sur i en mode produit : de quel angle z a-t-il tourné ? Et si w = −1 ?
- Place z sur 1 + i en mode puissances : que valent z², z⁴ et z⁸ ? Vérifie avec le module √2 et l'argument π/4.
- En mode inverse, éloigne z de O : où va 1/z ? Que se passe-t-il quand z est sur le cercle unité ?
- En mode racines, affiche le polygone pour n = 4 puis n = 6 : reconnais-tu i et eiπ/3 ?
- Dans ✏️ Taper z et w, écris z = 2e^(iπ/3), puis z = 1 + i√3 : est-ce le même point ? En mode produit, tape w = 3e^(i90°) : que devient z × w ?
Les maths derrière l'animation
- Forme algébrique : z = a + ib avec i² = −1. Module : |z| = √(a² + b²). Un argument θ vérifie cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|.
- Forme exponentielle : z = r eiθ = r(cos θ + i sin θ), avec r = |z|. Exemple : 1 + i = √2 eiπ/4 et i = eiπ/2.
- Produit : |z × w| = |z| × |w| et arg(z × w) = arg z + arg w (modulo 2π). En particulier, multiplier par eiα fait tourner d'un angle α autour de O.
- Conjugué : z̄ = a − ib, et z × z̄ = |z|². Inverse : 1/z = z̄ / |z|², de module 1/|z| et d'argument −θ.
- Formule de Moivre : (eiθ)n = einθ. Les racines n-ièmes de l'unité sont ωk = e2ikπ/n pour k = 0, 1, …, n − 1 : elles forment un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.
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