⛸️ La conservation du moment cinétique (la patineuse)
Une patineuse lance une pirouette les bras écartés, les ramène contre elle… et la voilà qui tourne comme une toupie, sans aucun élan supplémentaire. Le plongeur se groupe pour enchaîner les saltos, le chat se retourne en tombant, et une étoile qui s'effondre finit par tourner des centaines de fois par seconde. Derrière ces quatre tours de magie se cache une seule loi : la conservation du moment cinétique.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Quand la patineuse ramène les bras, son moment d'inertie J diminue et sa vitesse de rotation ω augmente d'autant : le produit L = J·ω reste constant (courbe verte bien plate).
- L'énergie cinétique Ec = ½Jω² = L²/(2J), elle, augmente quand J diminue (courbe orange) : ce sont ses muscles qui fournissent ce travail en tirant les bras vers l'axe. Quand elle écarte les bras, ils freinent et récupèrent cette énergie.
- Avec le frottement des patins, un petit couple extérieur s'oppose à la rotation : L diminue lentement, exactement comme le prévoit le théorème du moment cinétique.
- En vol, le poids du plongeur s'applique en son centre de masse : il n'a aucun moment par rapport à ce point. Groupé, J est 3,7 fois plus petit : il tourne 3,7 fois plus vite, puis se tend pour freiner sa rotation avant d'entrer dans l'eau.
- Le chat, lui, se retourne avec un moment cinétique nul à chaque instant : il tourne alternativement la moitié dont les pattes sont repliées (J petit), qui pivote beaucoup, pendant que l'autre moitié, pattes tendues, pivote peu en sens inverse.
Expériences à faire
- Lance la rotation bras tendus, puis ramène-les à moitié : par combien ω est-il multiplié ? Compare avec le rapport des moments d'inertie.
- Ajoute des haltères de 5 kg dans chaque main : jusqu'à quelle vitesse peux-tu monter en serrant les bras ? Pourquoi les haltères aident-ils autant ?
- Active le frottement : la courbe verte reste-t-elle plate ? Que faut-il pour que le moment cinétique change ?
- Plongeur : combien de saltos fais-tu en restant tendu tout le vol ? Et en restant groupé ? Arrives-tu à en faire deux et demi ? Coche ✏️ Mes valeurs et plonge sur la Lune (g = 1,6 m/s²) : combien de saltos maintenant ?
- Étoile : par combien faut-il diviser le rayon pour diviser la période de rotation par 100 ?
La physique derrière l'animation
- Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe Δ : dLΔ/dt = MΔ, somme des moments des actions extérieures. Pour la patineuse, le poids et la réaction de la glace sont parallèles à l'axe : leur moment est nul (frottement négligé), donc LΔ = JΔ·ω = constante.
- Moment d'inertie : JΔ = Σ mi ri². Modèle simple : un corps de 0,8 kg·m² et deux bras de 3,5 kg réduits à des masses ponctuelles (plus d'éventuels haltères dans les mains). J passe de 2,92 kg·m² (bras tendus) à 0,90 kg·m² (bras serrés) : ω est multiplié par 3,2.
- Énergie : Ec = ½Jω² = L²/(2J). Si J est divisé par 3, Ec est multipliée par 3. Le système se déforme, les forces intérieures (les muscles) travaillent : Wint = ΔEc, positif quand les bras se rapprochent, négatif quand ils s'écartent.
- Plongeur : le théorème du moment cinétique en son centre de masse G donne LG = constante pendant le vol (J ≈ 13 kg·m² tendu, 3,5 kg·m² groupé). Chat (modèle à deux demi-corps) : Javantωavant + Jarrièreωarrière = 0 à chaque instant, mais en changeant de forme entre deux rotations, il se retourne de 180°.
- Étoile homogène : J = (2/5)MR², donc ωR² = constante et T = T0(R/R0)². Une étoile comme le Soleil (T0 = 25 jours, R0 = 696 000 km) réduite à 10 km tournerait en 0,45 ms, avec un équateur à 0,47 c. Calcul idéal : une vraie étoile n'est pas homogène et perd du moment cinétique en s'effondrant ; les pulsars observés tournent en 1,4 ms à quelques secondes.
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