🧮 Les matrices 2×2 et les transformations du plan
Une matrice 2×2, ce n'est pas qu'un tableau de quatre nombres : c'est une machine qui déforme tout le plan. Fais tourner la maison, renverse-la dans un miroir, écrase-la sur une droite… et découvre pourquoi l'ordre compte quand on enchaîne deux transformations !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les deux colonnes de M sont les images des vecteurs de base : (a ; c) = M i en orange et (b ; d) = M j en bleu. Connaître ces deux flèches suffit pour transformer tout le plan.
- Le carré unité devient un parallélogramme d'aire |det M| : toutes les aires (celle de la maison aussi) sont multipliées par |ad − bc|.
- Quand det M < 0, la petite flèche tournante change de sens et la maison apparaît dans un miroir : l'orientation est renversée. Quand det M = 0, tout le plan s'écrase sur une droite.
- Les droites violettes sont les directions propres : un vecteur posé dessus est seulement étiré (ou retourné) par M, d'un facteur λ, sans changer de direction. Une rotation n'en a aucune.
- En mode composition, la maison orange (B puis A) et la maison violette (A puis B) ne coïncident pas en général : le produit de matrices n'est pas commutatif.
Expériences à faire
- Choisis la rotation de 90° : que vaut son déterminant ? Pourquoi les aires ne changent-elles pas ?
- Active la composition et choisis ✏️ Ma matrice B avec les mêmes coefficients que M : AB et BA sont-elles égales ? Et si B est la symétrie d'axe (Ox) et M aussi ?
- Avec le cisaillement, cherche les vecteurs qui ne tournent pas. Combien de directions propres trouves-tu ?
- Trouve deux matrices différentes de I qui commutent (par exemple deux rotations) : les deux maisons se superposent-elles ?
- Que deviennent la trace et le déterminant quand tu multiplies tous les coefficients par 2 ?
Les maths derrière l'animation
- La matrice M = (a b ; c d) transforme le point (x ; y) en (ax + by ; cx + dy) : M × (x ; y) = x × (a ; c) + y × (b ; d).
- Matrices usuelles : rotation d'angle θ : (cos θ −sin θ ; sin θ cos θ) ; homothétie de rapport k : k I ; symétrie d'axe (Ox) : (1 0 ; 0 −1).
- Déterminant : det M = ad − bc. Il multiplie les aires par |det M| ; M est inversible si et seulement si det M ≠ 0, et det(AB) = det A × det B.
- Composition : appliquer B puis A revient à appliquer AB. En général AB ≠ BA : le produit de matrices n'est pas commutatif.
- Vecteur propre : v ≠ 0 tel que M v = λ v. Les valeurs propres sont les racines de λ² − (a + d) λ + det M = 0 : leur somme est la trace a + d et leur produit le déterminant.
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