🔀 Matrices et graphes : les chaînes de Markov
Il fait beau aujourd'hui : fera-t-il beau dans trois jours ? Et dans un an ? Andreï Markov a eu une idée géniale : pour prédire demain, seul aujourd'hui compte. Range ces probabilités dans une matrice, fais tourner la machine… et regarde la météo (ou ton chat) se stabiliser, quel que soit le point de départ.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque flèche i → j du graphe porte la probabilité de passer de l'état i à l'état j en une étape. Ces nombres remplissent la matrice de transition M : la ligne i décrit les départs depuis l'état i, et chaque ligne a une somme égale à 1.
- Chaque état est un réservoir rempli à la hauteur πₙ(état). À chaque étape, les billes coulent le long des flèches en proportion de πₙ(i) × Mij : c'est exactement le produit πₙ₊₁ = πₙ × M.
- Les courbes de πₙ se rapprochent des pointillés : c'est l'état stable π, qui vérifie π = π × M. Change la loi de départ π₀ : la limite ne bouge pas !
- Si toutes les flèches obligent à changer d'état (probabilité 1), la loi peut osciller sans fin : la chaîne tourne en rond et ne se stabilise pas.
- En mode marche aléatoire, un seul marcheur saute au hasard ; la proportion du temps qu'il passe dans chaque état tend, elle aussi, vers l'état stable.
Expériences à faire
- Avec la météo, pars d'un jour de pluie, π₀ = (0 ; 1) : la limite change-t-elle ?
- Avec deux états, note a = p(A → B) et b = p(B → A) : vérifie que l'état stable vaut (b/(a + b) ; a/(a + b)).
- Que se passe-t-il si a et b sont tout petits, par exemple 0,01 ? La loi se stabilise-t-elle vite ?
- Avec la souris dans trois pièces, pourquoi le salon est-il visité deux fois plus souvent que la chambre ?
- Lance 1 000 pas de marche aléatoire : les fréquences sont-elles proches de l'état stable ? Et après seulement 20 pas ?
Les maths derrière l'animation
- Matrice de transition : M = (Mij), où Mij est la probabilité de passer de l'état i à l'état j. Ses coefficients sont positifs et la somme de chaque ligne vaut 1.
- Loi à l'étape n : πn est un vecteur ligne de somme 1. La formule des probabilités totales donne πn+1 = πn × M, donc πn = π0 × Mn.
- État stable : loi π telle que π = π × M. À deux états, avec a = p(A → B) et b = p(B → A) (a + b ≠ 0) : π = (b/(a + b) ; a/(a + b)).
- Convergence : si aucun coefficient de M n'est nul (plus généralement si la chaîne ne tourne pas en rond), πn converge vers l'état stable, quelle que soit la loi de départ π0.
- Marche aléatoire : la fréquence de passage d'un marcheur dans chaque état tend vers la probabilité de cet état dans l'état stable.
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