🧮 Système et matrice inverse : AX = B ⇔ X = A⁻¹B
Trois adultes et deux enfants paient 39 € au cinéma, deux adultes et quatre enfants paient 38 €. Combien coûte chaque place ? On peut tâtonner… ou laisser une matrice faire tout le travail ! Regarde les coefficients s'envoler du système vers la matrice A, puis la matrice inverse A⁻¹ livrer la solution d'un seul coup.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Étape 2 : les coefficients du système s'envolent vers la matrice A, les seconds membres vers la colonne B, les inconnues forment la colonne X. Le système devient une seule égalité : A X = B.
- Étape 3 : en 2×2, det A = ad − bc se lit sur les deux diagonales (verte moins rouge). Si det A ≠ 0, A est inversible ; si det A = 0, pas de matrice inverse : le système a zéro ou une infinité de solutions.
- Étape 4 : en 2×2, on obtient A⁻¹ en échangeant a et d, en changeant le signe de b et c, puis en divisant par det A. En 3×3, on utilise la calculatrice.
- Étape 5 : X = A⁻¹B se calcule ligne par colonne (la ligne et la colonne utilisées sont surlignées). Étape 6 : on vérifie que A X = B.
- En bas, « Ton essai » montre si tes valeurs vérifient chaque équation (jauges) et les dessine : les deux droites d'un système 2×2, la parabole, ou le circuit.
Expériences à faire
- Trouve le prix des places de cinéma en tâtonnant avec les curseurs, avant de demander la solution. Combien d'essais te faut-il ?
- Pourquoi le cas « non inversible » n'a-t-il pas de solution ? Regarde les deux droites.
- Pour les crêpes et les gaufres, la matrice inverse contient des fractions bizarres… mais la solution est entière. Pourquoi ?
- Avec ✏️ Mes valeurs, modifie un seul coefficient d'un système non inversible pour qu'il ait une solution unique.
- Parabole : déplace en pensée les points P, Q, R. Que se passe-t-il si deux points ont la même abscisse ?
Les maths derrière l'animation
- Un système linéaire de n équations à n inconnues s'écrit A X = B, où A est la matrice carrée des coefficients, X la colonne des inconnues et B la colonne des seconds membres.
- Si A est inversible : A X = B ⇔ A−1(A X) = A−1B ⇔ I X = A−1B ⇔ X = A−1B. Le système a alors une solution unique.
- En 2×2, A = (a b ; c d) est inversible si et seulement si det A = ad − bc ≠ 0, et alors A−1 = (1/(ad − bc)) × (d −b ; −c a).
- En 3×3, on calcule det A (règle de Sarrus) et A−1 à la calculatrice ; on vérifie que A−1A = I3.
- Si det A = 0, A n'est pas inversible : le système a soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
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