🎚️ Stabilité et marges : Bode, Black, boucle fermée
Un asservissement, c'est un peu comme conduire en regardant dans le rétroviseur : trop de gain et la voiture zigzague, encore plus et elle part dans le décor. Les marges de gain et de phase mesurent la distance qui te sépare de la catastrophe. Monte le gain, ajoute un retard, puis sauve la situation avec un correcteur.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Augmenter K fait monter toute la courbe de gain sans toucher à la phase : la pulsation de coupure ωc0 augmente, la phase y est plus basse, et la marge de phase Δφ diminue.
- Plus la marge de phase est faible, plus la boucle fermée dépasse et oscille : la courbe de droite montre que Δφ = 45° donne environ 23 % de dépassement pour un 2e ordre bouclé.
- Un 2e ordre sans intégrateur ni retard n'atteint jamais −180° : sa marge de gain est infinie, il est stable quel que soit K. Un intégrateur, un 3e pôle ou un retard pur font passer la phase sous −180° : il existe alors un gain critique.
- Quand ΔG ou Δφ deviennent négatifs, le lieu de Black passe à droite du point critique (−180°, 0 dB) : le critère du revers annonce l'instabilité, et la réponse indicielle diverge.
- Le correcteur à avance de phase remonte la phase autour de ωmax = 1/(T√a) ; le PI ajoute un intégrateur qui annule l'erreur statique, au prix d'un peu de phase aux basses fréquences.
Expériences à faire
- Avec l'intégrateur et le 2e ordre, double K plusieurs fois : de combien de décibels la courbe de gain monte-t-elle à chaque fois ? Que deviennent Δφ et le dépassement ?
- Sans intégrateur, compare le 2e et le 3e ordre : lequel peut devenir instable ? Pourquoi ? Avec ✏️ Mon système, essaie un 1er ordre (ou tes propres constantes de temps) : peut-il devenir instable, même avec un très grand K ?
- Active un retard pur de 0,2 s sur le 2e ordre sans intégrateur : la marge de gain reste-t-elle infinie ?
- Avec l'avance de phase, place ωmax = 1/(T√a) sur la pulsation de coupure : la marge de phase gagne-t-elle bien φmax = arcsin[(a − 1)/(a + 1)] ?
- Avec le PI, choisis Ti = 1 s pour compenser le pôle dominant (1 + p) : à quoi ressemble alors la boucle ouverte ?
Le cours derrière l'animation
- Boucle à retour unitaire : HBF(p) = HBO(p)/(1 + HBO(p)). Ici HBO(p) = K·C(p)·e−Trp/[pα(1 + p)(1 + 0,2p)(1 + 0,05p)], le dernier pôle n'existant que pour le 3e ordre.
- Marge de phase : Δφ = 180° + arg HBO(jωc0), où |HBO(jωc0)| = 1 (0 dB). Marge de gain : ΔG = −20 log|HBO(jω−180°)|, où arg HBO = −180°. Valeurs usuelles : Δφ ≥ 45° et ΔG ≥ 10 dB.
- Critère du revers : la boucle fermée est stable si, en parcourant le lieu de Black dans le sens des ω croissants, on laisse le point critique (−180°, 0 dB) à droite. La stabilité affichée ici est vérifiée par le critère de Nyquist (nombre de tours de 1 + HBO(jω) autour de 0).
- Pour HBO = K/[p(1 + τp)], la boucle fermée est un 2e ordre et Δφ ne dépend que de son amortissement : Δφ = arctan[2ξ/√(√(1 + 4ξ⁴) − 2ξ²)], d'où D1 = exp(−πξ/√(1 − ξ²)). Retiens : Δφ = 45° ↔ ξ ≈ 0,42 ↔ D1 ≈ 23 %.
- Correcteur à avance de phase C(p) = (1 + aTp)/(1 + Tp), a > 1 : remontée de phase maximale φmax = arcsin[(a − 1)/(a + 1)] à ωmax = 1/(T√a). Correcteur PI C(p) = (1 + Tip)/(Tip) : il ajoute un intégrateur (erreur statique nulle) et ne retarde la phase qu'en dessous de 1/Ti.
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