⏳ Lois à densité : loi uniforme et loi exponentielle
Le bus passe « au hasard » dans le quart d'heure, ton téléphone sonnera « un jour », ce noyau de radon se désintégrera « bientôt »… Quand le résultat peut prendre n'importe quelle valeur réelle, on ne demande plus P(X = 7) (c'est zéro !) mais P(5 ≤ X ≤ 10) : une aire sous une courbe. Lance des milliers de grains de hasard et regarde-les dessiner la courbe tout seuls.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La courbe bleu marine est la densité f de X. L'aire orange sous la courbe, entre les bornes, est la probabilité demandée ; l'aire totale sous la courbe vaut toujours 1.
- Chaque grain orange est une valeur de X tirée au hasard selon la loi. Les grains s'empilent dans un histogramme bleu dont la hauteur est « effectif ÷ (N × largeur) » : plus on tire, plus l'histogramme épouse la densité.
- Le triangle vert sous l'axe marque E(X) : c'est le point d'équilibre de la plaque formée par l'aire sous la courbe. Le petit triangle bleu marque la moyenne des tirages, qui s'en rapproche quand N grandit.
- À droite, la fonction de répartition F(t) = P(X ≤ t) monte de 0 à 1 : la hauteur du point orange est l'aire à gauche de t. Pour la loi uniforme c'est une rampe droite, pour la loi exponentielle une courbe 1 − e−λt.
- En mode « sans mémoire », la courbe violette en pointillés prend la queue de la densité après c, l'agrandit de 1/P(X ≥ c) et la ramène en 0 : avec la loi exponentielle, elle retombe pile sur la densité de départ ; avec la loi uniforme, non.
Expériences à faire
- Le bus passe au hasard entre 0 et 15 min : quelle est la probabilité d'attendre plus de 10 min ? Exactement 7 min ?
- Avec la loi exponentielle λ = 0,5, cherche la durée t telle que P(X ≤ t) = 0,5. Pourquoi est-elle plus petite que E(X) = 2 ?
- Le composant (λ = 0,2 par an) a déjà fonctionné 5 ans : la probabilité qu'il tienne encore 3 ans est-elle plus petite que pour un composant neuf ?
- Passe en « ✏️ Ma densité » et tape f(x) = x sur [0 ; 2] : pourquoi l'animation refuse-t-elle d'en faire une densité ? Par quel nombre faut-il diviser f ?
- Tire 1 000 valeurs, puis 10 000 : l'histogramme colle-t-il mieux à la courbe ? Et la moyenne à E(X) ?
Les maths derrière l'animation
- Une densité sur un intervalle I est une fonction f continue, positive, telle que l'aire totale sous la courbe vaut 1. Si X a pour densité f : P(c ≤ X ≤ d) = ∫cd f(x) dx, et P(X = c) = 0.
- Loi uniforme sur [a ; b] : f(x) = 1/(b − a) sur [a ; b] ; P(c ≤ X ≤ d) = (d − c)/(b − a) pour [c ; d] ⊂ [a ; b] ; E(X) = (a + b)/2.
- Loi exponentielle de paramètre λ > 0 : f(x) = λe−λx sur [0 ; +∞[ ; P(X ≤ t) = 1 − e−λt, P(X ≥ t) = e−λt ; E(X) = 1/λ.
- Absence de mémoire de la loi exponentielle : PX ≥ c(X ≥ c + h) = P(X ≥ h). C'est la loi des durées de vie « sans vieillissement » (noyaux radioactifs, composants électroniques).
- Espérance d'une loi à densité sur [a ; b] : E(X) = ∫ab x f(x) dx. La fonction de répartition F(t) = P(X ≤ t) est une primitive de f.
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