🔔 La loi normale : la cloche et ses aires
Tailles, QI, masses de baguettes, erreurs de mesure… tout le monde sonne la même cloche ! D'où vient cette courbe magique ? D'une simple loi binomiale qu'on fait grandir, puis qu'on centre et qu'on réduit. Regarde les barres fondre sur la cloche, puis attrape les bornes a et b pour mesurer des aires… qui sont des probabilités.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- En haut, l'histogramme de B(n ; p) sur tout [0 ; n] : quand n grandit, il part vers la droite (l'espérance np augmente) et s'étale (l'écart-type √(np(1 − p)) augmente), tout en se tassant par rapport à n.
- En bas, la zone orange est agrandie après centrage-réduction Z = (X − np)/σ : chaque barre a pour largeur 1/σ et pour hauteur σ × P(X = k), donc la même aire P(X = k). Quand n grandit, les barres épousent la cloche φ(z) = e−z²/2/√(2π) : c'est le théorème de Moivre-Laplace.
- Avec p = 0,5 l'histogramme colle très vite à la cloche ; avec p = 0,1, il reste penché longtemps : il faut un n bien plus grand.
- En mode « aires », la probabilité P(a ≤ X ≤ b) est l'aire orange sous la cloche de N(μ ; σ²). Les points violets sont les points d'inflexion, situés à μ − σ et μ + σ.
- Les tirages simulés tombent sous la courbe et construisent un histogramme qui épouse la cloche ; la fréquence des valeurs entre a et b se rapproche de l'aire orange.
Expériences à faire
- Clique sur « Faire grandir n » avec p = 0,5, puis avec p = 0,1 : quelle différence vois-tu ?
- Que deviennent la hauteur et la largeur de la cloche N(μ ; σ²) quand on double σ ? Pourquoi l'aire totale reste-t-elle égale à 1 ?
- Quelle proportion des hommes adultes mesure plus de 190 cm (coche « b = +∞ ») ? Et moins de 160 cm ?
- Avec le QI, quelle proportion de la population a un QI entre 70 et 130 ? Et au-dessus de 130 ?
- Lance 1 000 tirages avec les boutons μ ± σ, μ ± 2σ et μ ± 3σ : retrouves-tu la règle 68-95-99,7 ?
Les maths derrière l'animation
- Si X suit la loi binomiale B(n ; p), alors E(X) = np et σ(X) = √(np(1 − p)). La variable centrée réduite Z = (X − np)/√(np(1 − p)) a pour espérance 0 et pour écart-type 1.
- Théorème de Moivre-Laplace : quand n tend vers +∞, P(a ≤ Z ≤ b) tend vers l'aire sous la courbe de φ(z) = (1/√(2π)) e−z²/2 entre a et b. En pratique, on approche B(n ; p) par une loi normale si n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5.
- La loi normale N(μ ; σ²) a pour densité f(x) = 1/(σ√(2π)) × e−(x − μ)²/(2σ²) : courbe en cloche symétrique autour de μ, d'aire totale 1. E(X) = μ et σ(X) = σ.
- P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x) dx : une probabilité est une aire. Si X suit N(μ ; σ²), alors Z = (X − μ)/σ suit N(0 ; 1).
- Règle 68-95-99,7 : P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,683 ; P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,954 ; P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,997.
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