🎲 La loi géométrique : attendre le premier succès
Tu lances un dé en attendant le 6… et il ne vient pas. Est-ce qu'au bout de dix échecs, le 6 « doit » enfin sortir ? Le dé, lui, n'en a aucune idée ! Joue des parties au ralenti, puis simule des milliers d'attentes pour découvrir la loi qui règle le temps d'attente du premier succès.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- En haut à gauche, la partie se joue essai par essai : chaque essai rate (✗) ou réussit (✓). Le rang du premier succès est la valeur de X.
- L'arbre en escalier montre pourquoi P(X = k) = (1 − p)k−1 p : pour que le premier succès arrive au k-ième essai, il faut descendre k − 1 marches « échec » puis prendre la branche « succès ». Le chemin de la dernière partie est en orange.
- Les barres donnent la loi de X : chaque barre vaut (1 − p) fois la précédente, c'est une suite géométrique. Les points bleus sont les fréquences observées : avec beaucoup d'attentes, ils se posent sur les barres.
- La ligne verte marque E(X) = 1/p : avec un dé, il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le premier 6. Mais la valeur la plus probable reste X = 1 !
- Avec la case « ⏳ Absence de mémoire », on ne garde que les attentes qui ont déjà raté m fois : le nombre d'essais restants suit exactement la même loi qu'au départ.
Expériences à faire
- Avec le dé, quelle est la probabilité de devoir lancer plus de 10 fois pour obtenir le premier 6 ?
- Cherche le plus petit nombre de lancers k tel que P(X ≤ k) ≥ 0,9. Et pour être sûr à 99 % ?
- Le basketteur a raté 5 tirs : a-t-il plus de chances de marquer au prochain tir ? Compare PX > 5(X = 6) et P(X = 1).
- Quelle valeur de p donne une attente moyenne de 4 essais ? De 100 essais ?
- Simule 1 000 attentes, puis 10 000 : la moyenne des X s'approche-t-elle de 1/p ?
Les maths derrière l'animation
- On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre p, de façon identique et indépendante, jusqu'au premier succès. Le rang X du premier succès suit la loi géométrique de paramètre p, à valeurs dans {1 ; 2 ; 3 ; …}.
- P(X = k) = (1 − p)k−1 × p : k − 1 échecs suivis d'un succès.
- P(X > k) = (1 − p)k (les k premiers essais ratent) et P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)k, ce qui est aussi la somme des termes d'une suite géométrique.
- Espérance : E(X) = 1/p. En moyenne, il faut 1/p essais pour obtenir le premier succès.
- Absence de mémoire : PX > m(X > m + k) = P(X > k). Les échecs passés ne rendent pas le succès plus probable : c'est l'erreur du joueur qui croit que « ça doit tomber ».
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