🎲 La loi des grands nombres et la méthode de Monte-Carlo
Sur 10 lancers, une pièce peut très bien donner 8 Pile : le hasard adore les surprises. Mais sur 100 000 lancers, la fréquence de Pile ne s'écarte presque plus de 0,5. Lance des pièces et des dés par milliers, mesure la fluctuation avec Bienaymé-Tchebychev… et calcule même π en jetant des points au hasard dans un carré !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Au début, les trajectoires partent dans tous les sens : sur une série courte, la fréquence peut être très loin de la probabilité.
- Plus n grandit, plus les trajectoires se resserrent autour de p : c'est la loi des grands nombres. L'écart typique diminue comme 1/√n : il faut 100 fois plus de lancers pour être 10 fois plus précis.
- Dans le mode « fluctuation », l'histogramme des fréquences de milliers de séries se resserre autour de p quand n augmente : la fréquence se concentre.
- La borne de Bienaymé-Tchebychev est toujours respectée, mais elle est prudente : elle garantit 95 % pour n = 12 500 alors que 95 % des séries tombent déjà dans [0,48 ; 0,52] vers n = 2 500.
- En Monte-Carlo, la proportion de points tombés dans le quart de disque tend vers son aire π/4 : multipliée par 4, elle donne une estimation de π.
Expériences à faire
- Avec 20 trajectoires, combien sortent de la fourchette p ± 1/√n quand n = 1 000 ? Est-ce compatible avec « 95 % » ?
- Passe de la pièce au dé (obtenir un 6) : les trajectoires convergent-elles aussi vite ? Pourquoi la fourchette 1/√n est-elle alors trop large ?
- En mode fluctuation, multiplie n par 4 : la largeur de l'histogramme est-elle divisée par 2 ou par 4 ?
- Combien faut-il de points de Monte-Carlo pour avoir 2 décimales exactes de π ? Et 3 ?
- Choisis « ✏️ Mon événement » avec un événement rare (p = 0,05) : la fréquence se stabilise-t-elle aussi vite ? En mode fluctuation, tape ta propre taille n pour le vérifier.
Les maths derrière l'animation
- Si X1, …, Xn sont des variables indépendantes de même loi, d'espérance μ et de variance V, leur moyenne Mn = (X1 + … + Xn)/n a pour espérance μ et pour variance V/n.
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X)/δ². Pour la fréquence F d'un événement de probabilité p sur n essais : P(|F − p| ≥ δ) ≤ p(1 − p)/(n δ²).
- Loi (faible) des grands nombres : pour tout δ > 0, P(|Mn − μ| ≥ δ) tend vers 0 quand n tend vers +∞.
- Fourchette de seconde : pour n ≥ 25 et 0,2 ≤ p ≤ 0,8, la fréquence observée tombe dans [p − 1/√n ; p + 1/√n] dans environ 95 % des échantillons.
- Méthode de Monte-Carlo : si (x ; y) est tiré au hasard dans le carré [0 ; 1]², P(x² + y² ≤ 1) = π/4, donc 4 × (nombre de points dans le quart de disque)/N tend vers π, avec une erreur de l'ordre de 1,64/√N.
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