📊 La loi binomiale : P(X ≤ k), seuil et intervalle
Répondre au hasard à un QCM, lancer une pièce 100 fois, contrôler des pièces d'usine : derrière tout ça se cache la même loi, la loi binomiale. Ici, pas besoin de croire la calculatrice sur parole : clique sur « Empiler les barres » et regarde les probabilités tomber et s'additionner sous tes yeux. Tu sauras enfin ce que fait vraiment binomFRép !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- En haut, chaque barre de l'histogramme a pour hauteur P(X = k). Les barres orange sont celles qui répondent à ta question : une seule pour P(X = k), toutes celles de 0 à k pour P(X ≤ k), celles de k à n pour P(X ≥ k).
- En bas, avec la même échelle horizontale, la barre k a pour hauteur P(X ≤ k) : c'est la somme des barres de 0 à k. Le bouton « 📊 Empiler les barres » fait tomber les barres orange et les empile : on voit la somme se construire.
- Les hauteurs du diagramme du bas augmentent de 0 à 1 : passer de k − 1 à k ajoute exactement la barre P(X = k). C'est pour cela que P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1).
- En mode seuil, la ligne violette horizontale à la hauteur s coupe le diagramme cumulé : le premier k qui dépasse la ligne est le plus petit k tel que P(X ≤ k) ≥ s.
- En mode intervalle, les deux lignes α/2 et 1 − α/2 découpent l'intervalle [a ; b] qui contient X avec une probabilité d'au moins 1 − α. Une observation qui tombe dehors est « surprenante » : on rejette alors la valeur supposée de p.
Expériences à faire
- Au QCM de 20 questions à 4 choix, quelle est la probabilité d'avoir au moins 10 bonnes réponses au hasard ? Et au moins 5 ?
- Pourquoi P(X ≥ 10) n'est-il pas égal à 1 − P(X ≤ 10) ? Vérifie avec le diagramme cumulé.
- Pour 100 lancers d'une pièce, cherche à la main le plus petit k tel que P(X ≤ k) ≥ 0,95, puis vérifie avec le mode seuil.
- Une pièce lancée 100 fois donne 62 Pile : est-elle truquée ? Et avec 58 Pile ? Et avec 620 Pile sur 1 000 lancers ?
- Multiplie n par 4 avec p = 0,5 : l'intervalle de fluctuation est-il 4 fois plus large ? En fréquences, devient-il plus étroit ?
Les maths derrière l'animation
- Si X compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p, X suit la loi binomiale B(n ; p) : P(X = k) = C(n, k) × pk × (1 − p)n−k pour k = 0, 1, …, n, où C(n, k) (« k parmi n ») compte les chemins de l'arbre qui ont k succès.
- Espérance et variance : E(X) = np, V(X) = np(1 − p), écart-type σ(X) = √(np(1 − p)).
- Probabilités cumulées : P(X ≤ k) = P(X = 0) + … + P(X = k) ; P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) ; P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1). Calculatrice : binomFdp et binomFRép (TI), BinomialPD et BinomialCD (Casio).
- Seuil : la suite des P(X ≤ k) est croissante de 0 à 1 ; le plus petit k tel que P(X ≤ k) ≥ s se trouve en augmentant k pas à pas (algorithme de seuil).
- Intervalle de fluctuation au risque α : a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) > α/2 et b le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 1 − α/2 ; alors P(a ≤ X ≤ b) ≥ 1 − α. Si l'observation sort de [a ; b], on rejette l'hypothèse sur p avec un risque d'erreur d'au plus α.
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