📏 Le logarithme népérien et la règle à calcul
Avant les calculatrices, les ingénieurs multipliaient… avec une règle en bois ! Son secret : chaque nombre y est gravé à une distance proportionnelle à son logarithme. Comme ln(a × b) = ln a + ln b, mettre deux longueurs bout à bout revient à multiplier les nombres. C'est avec cet outil qu'on a calculé les ponts, les avions et les fusées jusqu'aux années 1970.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Sur la règle, le nombre t est gravé à la distance ln t du « 1 » : les graduations se resserrent vers la droite, et la distance de 1 à 10 est la même que de 10 à 100 (c'est ln 10 à chaque fois).
- En mode produit, la réglette part de a : on ajoute la longueur ln b à la longueur ln a, et le curseur rouge tombe sur a × b. Les barres orange et verte mises bout à bout ont exactement la longueur de la violette : ln(ab) = ln a + ln b.
- En mode quotient, la réglette recule de ln b : on lit a / b. Si b > a, le résultat est plus petit que 1 et son logarithme est négatif.
- En mode puissance, le kangourou fait n sauts de longueur ln a : il arrive sur aⁿ, car ln(aⁿ) = n ln a. Pour dépasser un seuil S, il faut n ≥ ln S / ln a (si a > 1).
- Dans le repère, la courbe de ln porte les points d'abscisses a, b et ab ; en option, la courbe de eˣ est la symétrique de celle de ln par rapport à la droite y = x, car ln est la réciproque de exp.
Expériences à faire
- Calcule 2,5 × 4 avec la règle, puis 25 × 4 : que remarques-tu sur les positions des graduations ?
- Prends b = 1 : où se trouve la réglette ? Pourquoi ln 1 = 0 ?
- En quotient, choisis a = b : que vaut a / b ? Et ln a − ln b ?
- En puissance, avec a = 1,05 (5 % d'intérêts par an), combien d'années faut-il pour doubler son argent (S = 2) ?
- Passe au logarithme décimal (log) : la règle change-t-elle ? Que vaut log 1 000 ?
Les maths derrière l'animation
- La fonction logarithme népérien ln est définie sur ]0 ; +∞[ et c'est la réciproque de la fonction exponentielle : y = ln x ⇔ x = ey. Donc ln 1 = 0, ln e = 1, eln x = x et ln(ex) = x.
- Relation fondamentale : pour a > 0 et b > 0, ln(ab) = ln a + ln b. On en déduit ln(1/b) = −ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(an) = n ln a (n entier) et ln √a = ½ ln a.
- Résoudre an ≥ S (a > 1, S > 0) : n ln a ≥ ln S ⇔ n ≥ ln S / ln a. Si 0 < a < 1, ln a < 0 et le sens de l'inégalité change. Exemple : 2n ≥ 1 000 ⇔ n ≥ ln 1 000 / ln 2 ≈ 9,97, donc n = 10.
- La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et (ln x)′ = 1/x > 0 : elle est strictement croissante. Sa courbe est la symétrique de celle de exp par rapport à la droite y = x.
- Logarithme décimal : log x = ln x / ln 10. Il a les mêmes propriétés et log 10n = n (pH, décibels, magnitude des séismes…).
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