📏 Le logarithme décimal : pH, décibels et séismes
Entre le jus de citron et l'eau de Javel, la concentration en ions H₃O⁺ est divisée par… dix mille milliards ! Impossible de ranger tout ça sur une règle ordinaire : tout s'écrase contre zéro. L'astuce des scientifiques ? Compter les puissances de 10 au lieu des nombres eux-mêmes. C'est ça, le logarithme décimal, et il se cache derrière le pH, les décibels et la magnitude des séismes.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le curseur « linéaire ↔ logarithmique » transforme l'axe en direct. En échelle linéaire, presque tous les exemples s'entassent contre 0 : illisibles ! En échelle logarithmique, chaque graduation multiplie la grandeur par 10 et les exemples s'étalent régulièrement.
- Au-dessus de l'axe, la grandeur physique (10−3, 10−4…) ; au-dessous, la valeur sur l'échelle (pH 3, pH 4…) : multiplier par 10 revient à ajouter (ou retrancher) 1. C'est la propriété log(10n) = n.
- Le bouton « 📌 Épingler » garde une valeur : un rapport de 1 000 entre deux intensités sonores devient un simple écart de 30 dB.
- Le sismographe dessine les deux séismes à la même échelle : pour 2 degrés de magnitude d'écart, l'amplitude est 100 fois plus petite et la trace semble plate.
- Avec la règle à calcul, les longueurs log a et log b se mettent bout à bout : on lit le produit a × b. C'est ainsi qu'on multipliait avant les calculatrices !
Expériences à faire
- Le jus de citron a un pH de 2,4 : quel est le pH d'une solution 100 fois moins acide ? Et 1 000 fois moins ?
- Deux sons identiques s'ajoutent : l'intensité double. De combien de décibels monte le niveau sonore ?
- Un séisme de magnitude 7 et un séisme de magnitude 5 : combien de fois plus grande est l'amplitude du premier ?
- Fais glisser l'axe de « logarithmique » à « linéaire » avec les décibels : quels sons restent lisibles ?
- Avec la règle à calcul, trouve 2 × 3,5 puis le nombre x tel que 4 × x = 10. Comment ferais-tu une division ?
Les maths derrière l'animation
- Le logarithme décimal d'un nombre x > 0 est l'exposant y tel que 10y = x : log(10n) = n, log 1 = 0, log 10 = 1. La fonction log est croissante sur ]0 ; +∞[.
- log(a × b) = log a + log b, log(a / b) = log a − log b, log(an) = n log a. En écrivant x = m × 10n (1 ≤ m < 10), log x = n + log m.
- pH = −log[H3O+] (concentration en mol/L), donc [H3O+] = 10−pH : concentration × 10 ⟹ pH − 1.
- Niveau sonore : L = 10 log(I / I0) avec I0 = 1,0 × 10−12 W/m² : intensité × 10 ⟹ +10 dB, intensité × 2 ⟹ +3 dB.
- Magnitude de Richter : M = log(A / A0), A amplitude mesurée à 100 km, A0 = 1 µm : amplitude × 10 ⟹ M + 1 (et l'énergie libérée est multipliée par environ 32).
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