🚇 Limites de suites : le couloir ε, le seuil et les gendarmes
« La suite tend vers 3 », d'accord… mais ça veut dire quoi, exactement ? Que tous les termes finissent par rentrer dans un couloir autour de 3 et n'en sortent plus jamais, même si on rétrécit le couloir autant qu'on veut. Ici, c'est toi qui serres le couloir : à toi de trouver le rang N à partir duquel plus personne ne dépasse.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les termes un sont des points ; le couloir vert va de ℓ − ε à ℓ + ε. Les points rouges sont hors du couloir, les verts foncés sont au-delà du rang N : tous dans le couloir, pour toujours.
- Quand ε diminue, le rang N augmente : pour un = 3 + 2/n, il faut n > 2/ε. La résolution de |un − ℓ| < ε s'affiche en direct à droite.
- Si le couloir n'est pas centré sur la vraie limite, il existe toujours un ε pour lequel aucun rang N ne marche : c'est ce qui rend la limite unique.
- L'algorithme de seuil (en Python) s'arrête au premier n qui entre dans le couloir. Pour une suite non monotone comme sin(n)/n, ce premier rang peut être plus petit que N : la suite peut ressortir !
- Avec les gendarmes, vn et wn entrent dans le couloir et y coincent un, qui n'a pas le choix : elle a la même limite.
Expériences à faire
- Avec 3 + 2/n, divise ε par 10 plusieurs fois : comment évolue N ? Peux-tu prévoir N avant de regarder ?
- Avec 1 + (−1)ⁿ/n, la suite converge-t-elle alors qu'elle saute d'un côté à l'autre de 1 ?
- Avec √(n + 1) − √n et ε = 0,001, pourquoi l'ordinateur ne trouve-t-il pas N ? Que donne la formule n > 1/(4ε²) ?
- En mode +∞, compare ln(n) et √n pour A = 10 : laquelle dépasse le seuil le plus tôt ?
- Avec ✏️ Ma suite, tape (−1)ⁿ : existe-t-il un couloir qui finit par contenir tous les termes ?
Les maths derrière l'animation
- Limite finie : lim un = ℓ si, pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, |un − ℓ| < ε (tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes à partir d'un certain rang).
- Limite +∞ : lim un = +∞ si, pour tout réel A, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, un > A.
- Théorème des gendarmes : si vn ≤ un ≤ wn à partir d'un certain rang et lim vn = lim wn = ℓ, alors lim un = ℓ. Comparaison : si un ≥ vn et lim vn = +∞, alors lim un = +∞.
- Suite géométrique : si −1 < q < 1, lim qn = 0 ; si q > 1, lim qn = +∞. Et (1 + 1/n)n → e ≈ 2,718.
- Algorithme de seuil : n = n0 ; tant que la condition n'est pas remplie, n = n + 1. Il renvoie le premier rang qui convient (égal à N si la suite est monotone).
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