🚀 Limites de fonctions et asymptotes : le voyage vers l'infini
Une asymptote, c'est une droite que la courbe finit par frôler… mais qu'il faut aller chercher très loin, là où le dessin s'arrête. Embarque le point M dans une fusée : direction +∞, −∞ ou le bord d'une valeur interdite. Le tableau de valeurs se remplit pendant le voyage, et avec les axes compressés, l'infini lui-même apparaît au bord de l'écran.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pendant le voyage vers +∞, la colonne « écart » du tableau (f(x) − ℓ) fond : 0,07 ; 0,007 ; 0,0007… c'est exactement ce que veut dire lim f(x) = ℓ.
- Vers une valeur interdite a (par la gauche ou par la droite), f(x) explose vers +∞ ou −∞ : la droite x = a est une asymptote verticale. Le signe dépend du côté d'où l'on arrive.
- Avec les axes compressés 🔭, toute la droite réelle tient dans le cadre : +∞ est sur le bord. Une asymptote horizontale, c'est la hauteur à laquelle la courbe arrive au bord droit ou gauche.
- Avec (x² + 1)/(x − 1), la courbe se colle à la droite y = x + 1 : c'est une asymptote oblique, car f(x) − (x + 1) = 2/(x − 1) → 0.
- Avec sin(x)/x, la courbe traverse son asymptote y = 0 une infinité de fois : une courbe peut couper son asymptote !
Expériences à faire
- Avec (2x + 1)/(x − 3), jusqu'où faut-il emmener M pour que l'écart à 2 soit plus petit que 0,001 ? Vérifie avec 7/(x − 3).
- Compare eˣ/x et x e⁻ˣ en +∞ : laquelle l'emporte, l'exponentielle ou x ? Que dit le tableau ?
- Avec ln x, pars vers +∞ : f(x) tend-elle vers +∞ ? À quelle vitesse ? Y a-t-il une asymptote ?
- Avec sin(x)/x, approche-toi de 0 par la droite : y a-t-il une asymptote verticale ?
- Avec ✏️ Ma fonction, tape (x² − 4)/(x − 1) : trouve ses asymptotes, puis vérifie-les à la main par une division.
Les maths derrière l'animation
- Si limx→+∞ f(x) = ℓ (ou en −∞), la droite d'équation y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe.
- Si limx→a f(x) = +∞ ou −∞ (à gauche ou à droite), la droite d'équation x = a est asymptote verticale.
- Si limx→±∞ [f(x) − (mx + p)] = 0, la droite y = mx + p est asymptote oblique.
- Forme indéterminée ∞/∞ d'une fraction rationnelle : on factorise par le plus haut degré, (2x + 1)/(x − 3) = (2 + 1/x)/(1 − 3/x) → 2.
- Croissances comparées : limx→+∞ ex/x = +∞, limx→+∞ x e−x = 0, limx→+∞ ln(x)/x = 0.
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