🔗 Le joint de Cardan (et le double cardan homocinétique)
Comment faire tourner un arbre… qui n'est pas dans l'axe du moteur ? Avec deux fourches et une croix ! Le joint de Cardan transmet la rotation entre deux arbres inclinés, mais il cache un petit défaut : sa sortie accélère et ralentit deux fois par tour. Incline-le, fais-le tourner, puis découvre l'astuce du double cardan qui efface ce défaut sur les transmissions de voiture.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les deux tourillons du croisillon restent toujours perpendiculaires entre eux : cette seule contrainte géométrique impose la loi tan θs = tan θ1 / cos α.
- Avec un seul joint, le rapport ωs/ωe oscille entre cos α et 1/cos α, deux fois par tour : il est maximal quand la fourche d'entrée est dans le plan des deux arbres, minimal un quart de tour plus loin.
- Dans la vue de bout de la sortie, l'aiguille verte prend tantôt de l'avance, tantôt du retard sur l'aiguille grise (la position de l'entrée), mais les deux se rejoignent tous les quarts de tour : en moyenne, la sortie tourne exactement aussi vite que l'entrée.
- Avec un double cardan aux deux angles égaux et aux fourches de l'arbre intermédiaire en phase, l'arbre intermédiaire fluctue (pointillés bleus) mais la sortie tourne à vitesse constante : le second joint compense exactement le premier.
- Des fourches décalées de 90° additionnent les défauts au lieu de les compenser : c'est l'erreur de montage classique, qui fait vibrer toute la transmission.
Expériences à faire
- À partir de quel angle α la fluctuation de la vitesse de sortie dépasse-t-elle 10 % ? Et 50 % ?
- Avec le double cardan en Z, règle α1 = 30° et α2 = 20° : la transmission est-elle encore homocinétique ? Que se passe-t-il si α2 = α1 ?
- Décale les fourches de l'arbre intermédiaire de 45°, puis de 90° : comment évoluent les deux courbes ?
- Passe de 1 500 à 3 000 tr/min : la fluctuation en pourcentage change-t-elle ? Et l'accélération angulaire de la sortie ?
Le cours derrière l'animation
- Loi entrée-sortie d'un joint de Cardan, l'angle θ1 étant compté depuis la position où la fourche d'entrée est dans le plan des deux arbres : tan θs = tan θ1 / cos α.
- En dérivant par rapport au temps : ωs / ωe = cos α / (1 − sin²α × cos²θ1), compris entre cos α et 1/cos α. Fluctuation : (ωmax − ωmin) / ωe = sin α × tan α, qui dépasse 10 % dès α ≈ 18°.
- L'écart θs − θ1 est périodique (période 180°) et s'annule tous les 90° : à chaque tour d'entrée correspond exactement un tour de sortie, donc la vitesse moyenne de sortie est égale à celle d'entrée, quel que soit α.
- Accélération angulaire de la sortie : d²θs/dt² = ωe² × d(ωs/ωe)/dθ1. Elle croît comme le carré de la vitesse : à grande vitesse, l'inertie de la sortie crée des couples alternés et des vibrations.
- Double cardan : ωs/ωe = (ωm/ωe) × (ωs/ωm). Il est homocinétique si les trois arbres sont dans un même plan (montage en Z ou en W), si α1 = α2 et si les deux fourches de l'arbre intermédiaire sont en phase.
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