🐷 Intérêts simples ou composés : le duel des tirelires
Ton arrière-arrière-grand-père a placé 1 € il y a 100 ans. À intérêts simples, tu hérites de 6 €. À intérêts composés, de 131,50 €. Même taux, même durée… alors d'où sortent ces 125 € ? Des intérêts qui fabriquent eux-mêmes des intérêts ! Fais tomber les pièces et regarde la tirelire de droite s'emballer.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Dans la tirelire de gauche (intérêts simples), chaque année tombe la même pièce : I = C0 × t. Les points bleus du graphique sont alignés : c'est une suite arithmétique.
- Dans la tirelire de droite (intérêts composés), la couche de chaque année est de plus en plus épaisse : on gagne Cn × t, calculé sur un capital qui grossit. Les points orange forment une courbe qui monte de plus en plus vite : c'est une suite géométrique.
- Dans chaque couche de droite, la partie or est l'intérêt « du capital » (le même qu'à gauche) et la partie orange l'intérêt « des intérêts ». Au fil des années, l'orange finit par dominer.
- Les premières années, les deux tirelires se ressemblent beaucoup. L'écart ne devient spectaculaire que sur des durées longues ou avec des taux élevés.
- Le même calcul s'applique à une dette : à 20 % par an, une dette impayée est multipliée par plus de 6 en 10 ans.
Expériences à faire
- Livret à 3 % : calcule S10 et C10 à la main, puis vérifie. Pourquoi la différence est-elle si petite ?
- À 5 % composés, combien d'années faut-il pour doubler le capital ? Compare avec la règle de 72 : 72 ÷ 5.
- Avec 4 % composés pendant 10 ans, quel taux simple donne la même somme ? Est-ce 4 % ?
- Mets le taux à 0 % : que se passe-t-il ? Et avec 30 % pendant 50 ans ?
- Avec « ✏️ Mes valeurs », simule ton propre placement (ou ta dette) et cherche quand les intérêts composés dépassent le capital de départ.
Les maths derrière l'animation
- Un capital C0 placé au taux annuel t (par exemple 3 % = 0,03) rapporte des intérêts I = C0 × t la première année.
- Intérêts simples : les intérêts sont toujours calculés sur C0. Sn+1 = Sn + C0t : suite arithmétique de raison r = C0t, donc Sn = C0 + n C0 t = C0(1 + nt).
- Intérêts composés : les intérêts sont ajoutés au capital chaque année. Cn+1 = Cn + Cn t = Cn(1 + t) : suite géométrique de raison q = 1 + t (le coefficient multiplicateur), donc Cn = C0(1 + t)n.
- Doublement : en intérêts simples, Sn = 2C0 pour n = 1/t ; en intérêts composés, il faut (1 + t)n ≥ 2, ce qui arrive vers n ≈ 72 ÷ (taux en %) (règle de 72).
- Comme 1 + t > 1, la suite géométrique (Cn) finit toujours par dépasser n'importe quelle suite arithmétique : Cn − Sn tend vers +∞.
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