🏖️ Propriétés de l'intégrale et valeur moyenne
Imagine que la surface sous la courbe soit un tas de sable. Passe un coup de râteau : les bosses comblent les creux et le tas devient un rectangle bien plat. Sa hauteur, c'est la valeur moyenne de la fonction ! Viens aussi découper l'intégrale avec Chasles, la mélanger avec la linéarité et vérifier qu'elle sait compter les parties négatives.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pendant l'aplatissement, la courbe intermédiaire (1 − s)f + sμ garde exactement la même intégrale : à la fin, il reste un rectangle de base b − a et de hauteur μ, de même aire que la surface de départ.
- La partie orange (ce qui dépasse μ) a la même aire que la partie bleue (les creux sous μ) : c'est la traduction de ∫ₐᵇ (f(x) − μ) dx = 0. Les points violets sont les x où f(x) = μ.
- Avec Chasles, le point c coupe l'intégrale en deux morceaux qui s'additionnent. Si c sort de [a ; b], un morceau est parcouru « à l'envers » : il est hachuré, car il compte négativement… et la relation reste vraie.
- En linéarité, la courbe violette est celle de αf + βg : son intégrale vaut exactement α∫f + β∫g. Les parties hachurées, sous l'axe, comptent négativement.
- En positivité, l'intégrale est l'aire verte moins l'aire rouge ; elle est toujours coincée entre les rectangles m(b − a) et M(b − a), où m et M sont le minimum et le maximum de f sur [a ; b].
Expériences à faire
- Calcule à la main la valeur moyenne de x² sur [0 ; 3], puis aplatis le tas pour vérifier. Pour quel x a-t-on f(x) = μ ?
- Avec sin x sur [0 ; π], la valeur moyenne vaut-elle ½ ? Et sur [0 ; 2π] ? Pourquoi ?
- Dans Chasles, place c en dehors de [a ; b] : la somme des deux morceaux vaut-elle toujours ∫ₐᵇ f(x) dx ? Quel morceau devient négatif ?
- En linéarité, prends g(x) = 1 : que vaut ∫ₐᵇ g ? Retrouve la formule ∫ₐᵇ k dx = k(b − a).
- Avec x³ − 3x, cherche des bornes où la fonction prend des valeurs négatives mais où l'intégrale reste positive.
Les maths derrière l'animation
- Valeur moyenne de f sur [a ; b] (a < b) : μ = 1/(b − a) × ∫ab f(x) dx. Le rectangle de base b − a et de hauteur μ a la même aire (algébrique) que la surface sous la courbe.
- Relation de Chasles : ∫ab f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx, pour tous a, b, c ; de plus ∫ba f = −∫ab f et ∫aa f = 0.
- Linéarité : ∫ab (αf(x) + βg(x)) dx = α∫ab f(x) dx + β∫ab g(x) dx ; en particulier ∫ab k dx = k(b − a).
- Positivité et ordre (a ≤ b) : si f ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫ab f ≥ 0 ; si f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ab f ≤ ∫ab g.
- Inégalité de la moyenne : si m ≤ f(x) ≤ M sur [a ; b], alors m(b − a) ≤ ∫ab f(x) dx ≤ M(b − a), donc m ≤ μ ≤ M. Exemple : x² sur [0 ; 3] donne ∫ = [x³/3]03 = 9 et μ = 9/3 = 3.
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