🧮 L'intégrale, c'est une aire : sommes de Riemann
Calculer l'aire sous une courbe, c'est comme carreler une salle de bains aux murs tordus : on pose des rectangles, ça dépasse un peu ici, ça manque un peu là… et plus les carreaux sont fins, plus c'est juste. Découpe l'aire en n rectangles ou en trapèzes, compare ta somme à la valeur exacte de l'intégrale, et attention : sous l'axe, l'aire compte en négatif !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les rectangles orange, au-dessus de l'axe, comptent positivement ; les bleus, en dessous, comptent négativement : la somme approche l'aire algébrique, c'est-à-dire l'intégrale.
- Quand n augmente, Δx = (b − a)/n diminue et la somme se rapproche de la valeur exacte F(b) − F(a), calculée avec une primitive F de f.
- Pour une fonction croissante, les rectangles à gauche sont trop petits et ceux à droite trop grands : la vraie valeur est coincée entre les deux.
- Le point milieu et les trapèzes sont bien plus précis : quand n double, leur erreur est divisée par 4 environ, contre 2 seulement pour les rectangles à gauche ou à droite.
Expériences à faire
- Avec x² entre 0 et 2, double n plusieurs fois avec les rectangles à gauche : par combien l'erreur est-elle divisée à chaque fois ? Et avec les trapèzes ?
- Avec sin x entre 0 et 2π, que vaut l'intégrale ? Pourquoi, alors que la courbe n'est pas collée à l'axe ?
- Avec 1/x entre 1 et 2,72 (presque e), que vaut l'intégrale ? Reconnais-tu la valeur exacte ?
- Avec x³ − 3x, trouve des bornes pour lesquelles les rectangles orange et bleus se compensent exactement.
Les maths derrière l'animation
- Si f est continue et positive sur [a ; b], ∫ab f(x) dx est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b (en unités d'aire).
- Si F est une primitive de f (F′ = f), alors ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a). Exemples : x² → x³/3 ; sin x → −cos x ; eˣ → eˣ ; 1/x → ln x ; √x → (2/3) x3/2.
- Somme de Riemann à gauche : Sn = Δx × [f(x0) + f(x1) + … + f(xn−1)], avec Δx = (b − a)/n et xk = a + kΔx ; elle tend vers l'intégrale quand n tend vers l'infini.
- Méthode des trapèzes : Tn = Δx × [f(x0)/2 + f(x1) + … + f(xn−1) + f(xn)/2]. Son erreur, comme celle du point milieu, est proportionnelle à 1/n² (contre 1/n pour les rectangles à gauche).
- Les parties de la courbe situées sous l'axe comptent négativement : l'intégrale est une aire algébrique. Par exemple, ∫02π sin x dx = 0.
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