🧩 L'indépendance de deux événements : le carré qui ne ment pas
« Le 1er dé est pair » et « la somme fait 7 » : ces deux événements se parlent-ils ? Étonnamment, non ! Pour le voir, on range les probabilités dans un carré d'aire 1 : si la zone B forme une belle bande droite, A et B s'ignorent royalement. Si elle fait une marche d'escalier, ils sont liés. Clique, colorie, tire au sort… et démasque les faux amis.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le carré a une aire de 1. La colonne A a pour largeur P(A) ; dans chaque colonne, la zone orange ou violette B monte jusqu'à PA(B) ou PĀ(B). L'aire violette est donc P(A) × PA(B) = P(A ∩ B).
- Le rectangle en pointillés a pour largeur P(A) et pour hauteur P(B) : son aire est P(A) × P(B). A et B sont indépendants exactement quand il coïncide avec la zone violette.
- Quand A et B sont indépendants, la frontière de B est une ligne droite : la proportion de B est la même dans A et dans Ā. Sinon, elle fait une « marche ».
- Dans l'urne sans remise, la 1re boule tirée manque au 2e tirage : les événements sont dépendants. Avec remise, la marche disparaît.
- Des événements incompatibles (A ∩ B = ∅) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : savoir que A est réalisé interdit B !
Expériences à faire
- Avec un dé, A = « pair » et B = « au plus 2 » sont indépendants. Et A avec B = « au moins 4 » ? Explique la différence avec le carré.
- Deux dés : compare B = « somme = 7 » et B = « somme = 8 ». Pourquoi la somme 8 dépend-elle du 1er dé ?
- Dans le jeu de 32 cartes, « roi » et « cœur » sont-ils indépendants ? Et « roi » et « figure » (V, D, R) ? Colorie pour vérifier.
- Urne : coche « avec remise » et regarde la marche du carré. Que deviennent PA(B) et PĀ(B) ?
- Avec « ✏️ Mes probabilités », règle P(A) = 0,4 et P(B) = 0,3 avec A et B indépendants. Combien y a-t-il de façons de le faire ?
Les maths derrière l'animation
- Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Si P(A) ≠ 0, A et B sont indépendants si et seulement si PA(B) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B. Rappel : PA(B) = P(A ∩ B) / P(A).
- Dans un arbre pondéré (0 < P(A) < 1), A et B sont indépendants si et seulement si PA(B) = PĀ(B) ; cette valeur commune est alors P(B), par la formule des probabilités totales.
- Si A et B sont indépendants, alors Ā et B, A et B̄, Ā et B̄ sont aussi indépendants.
- Ne pas confondre : incompatibles signifie A ∩ B = ∅ (P(A ∩ B) = 0). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont toujours dépendants.
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