🧊 La géométrie dans l'espace : droites et plans
Dans l'espace, une feuille de papier ne suffit plus : il faut faire tourner la figure dans sa tête… ou à la souris ! Règle les points A et B, construis un plan avec un vecteur normal ou trois points, et regarde où la droite le transperce. Promis, ici, la troisième dimension ne donne pas mal au cœur.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La droite (AB) est l'ensemble des points M tels que AM = t AB : chaque valeur du réel t donne un point, ce que traduit la représentation paramétrique affichée à droite.
- Le plan P est formé des points M tels que CM · n = 0 : en développant ce produit scalaire, on obtient son équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, où (a ; b ; c) sont les coordonnées de n.
- La droite coupe le plan en un seul point I dès que n · u ≠ 0 ; si n · u = 0, elle est parallèle au plan (ou incluse dedans si A est dans P).
- Le segment vert [AH] est perpendiculaire au plan : H est le projeté orthogonal de A sur P et AH est la distance de A au plan, la plus courte de toutes.
- Avec le bouton « Plan vu par la tranche », le plan devient une simple droite : la distance AH apparaît alors en vraie grandeur.
Expériences à faire
- Change le point A sans changer B : quelles coordonnées de la représentation paramétrique bougent ? Et si tu changes seulement B ? Astuce : clique sur une valeur pour taper les coordonnées de ton exercice (de −10 à 10).
- Double toutes les coordonnées de n : l'équation du plan change-t-elle vraiment ? Et le plan dessiné ?
- Pose A dans le plan P : que vaut alors AH ? Que vaut a xA + b yA + c zA + d ?
- En mode « trois points », place C, D et E sur une même droite : que se passe-t-il ? Pourquoi ?
- Fais tourner la vue jusqu'à voir le plan par la tranche : que devient le vecteur n ?
Les maths derrière l'animation
- Représentation paramétrique de la droite passant par A(xA ; yA ; zA) et dirigée par u(α ; β ; γ) : x = xA + αt, y = yA + βt, z = zA + γt, avec t ∈ ℝ.
- Un plan de vecteur normal n(a ; b ; c) a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0 ; on trouve d en écrivant qu'un point connu du plan vérifie l'équation.
- Intersection d'une droite et d'un plan : on remplace x, y et z de la représentation paramétrique dans l'équation du plan, et on résout l'équation d'inconnue t.
- La droite de vecteur directeur u et le plan de vecteur normal n sont parallèles si u · n = 0, orthogonaux si u et n sont colinéaires.
- Distance d'un point A au plan P : AH = |a xA + b yA + c zA + d| / √(a² + b² + c²), où H est le projeté orthogonal de A sur P.
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