🏁 Les fonctions de référence : carré, inverse, racine, cube
Quatre coureuses sur la ligne de départ : la carrée, l'inverse, la racine et la cube (avec la droite y = x comme arbitre). Choisis un nombre x et regarde le classement : qui est la plus grande ? Surprise, entre 0 et 1 tout s'inverse… et en x = 1, c'est l'égalité parfaite !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le trait vertical allume un point sur chaque courbe ; les glissières pointillées les ramènent sur l'axe des ordonnées, et le classement range les valeurs de la plus grande à la plus petite.
- Pour x entre 0 et 1, élever au carré ou au cube fait rapetisser : x³ ≤ x² ≤ x. Pour x ≥ 1, c'est l'inverse : x ≤ x² ≤ x³. Toutes les courbes passent par le point A(1 ; 1).
- La fonction carré est paire : M et M′ ont la même ordonnée, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Les fonctions inverse et cube sont impaires : M et M′ sont symétriques par rapport à l'origine O.
- En x = 0, la machine inverse refuse de travailler (on ne divise pas par 0) ; pour x < 0, la racine carrée n'existe pas : elles disparaissent du classement.
- La fiche de la fonction étudiée donne son ensemble de définition, sa parité et ses variations, avec les calculs de f(x) et f(−x) en direct.
Expériences à faire
- Lance « Balayer de −2 à 2 » et note à quels moments les coureuses se doublent dans le classement.
- Pour x = 0,5, range sans calculatrice x, x², x³, √x et 1/x, puis vérifie avec le classement.
- Cherche un x négatif pour lequel x³ < x < x² : pourquoi n'en existe-t-il qu'à gauche de −1 ?
- Compare 1/x et x² pour x = 2 puis pour x = 0,5 : qui gagne ? Où se croisent les deux courbes ?
- Tape ta propre fonction (✏️), par exemple |x| ou x⁴ : est-elle paire ou impaire ? Passe-t-elle par O et par A ?
Les maths derrière l'animation
- Fonction carré : f(x) = x², définie sur ℝ, paire ; décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[. Sa courbe est une parabole de sommet O.
- Fonction inverse : f(x) = 1/x, définie sur ℝ* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, impaire ; décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[. Sa courbe est une hyperbole.
- Fonction racine carrée : f(x) = √x, définie sur [0 ; +∞[, croissante. Fonction cube : f(x) = x³, définie sur ℝ, impaire, croissante.
- Parité : f est paire si f(−x) = f(x) (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées), impaire si f(−x) = −f(x) (symétrie par rapport à l'origine).
- Comparaison : si 0 ≤ x ≤ 1, alors x³ ≤ x² ≤ x ; si x ≥ 1, alors x ≤ x² ≤ x³. Pour x ≥ 0, les courbes de x, x² et x³ ne se coupent qu'en O(0 ; 0) et A(1 ; 1).
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