🏔️ Fonctions de deux variables : surfaces et gradient
Une fonction de deux variables, c'est un paysage : x et y te disent où tu marches, z = f(x, y) te dit à quelle altitude tu es. Fais tourner la montagne, lis la carte de randonnée (les lignes de niveau), suis la flèche du gradient qui montre la pente la plus raide… et trouve les sommets, les creux et les cols !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La carte de droite est vue de dessus : chaque ligne de niveau relie des points de même altitude f(x, y) = c, comme les courbes d'une carte de randonnée. Là où elles sont serrées, la pente est forte.
- Les deux courbes colorées sur la surface sont les sections par les plans x = x₀ (violet) et y = y₀ (vert) : leurs pentes en M sont les dérivées partielles ∂f/∂y(M) et ∂f/∂x(M).
- Le vecteur gradient ∇f(M) = (∂f/∂x ; ∂f/∂y) est toujours perpendiculaire à la ligne de niveau qui passe par M, et il pointe vers les altitudes qui montent le plus vite.
- Le plan tangent en M colle à la surface au voisinage de M : c'est l'approximation affine f(x, y) ≈ f(M) + ∂f/∂x(M)(x − x₀) + ∂f/∂y(M)(y − y₀).
- Aux points critiques, le gradient est nul et le plan tangent est horizontal : avec r, s, t les dérivées secondes, rt − s² > 0 donne un extremum local (minimum si r > 0, maximum si r < 0) et rt − s² < 0 un point selle.
Expériences à faire
- Sur x² + y², promène M : dans quelle direction pointe toujours le gradient ? Que vaut-il au fond du bol ?
- Sur la selle x² − y², pose M sur l'origine : le plan tangent est horizontal, et pourtant ce n'est ni un minimum ni un maximum. Pourquoi ?
- Sur la selle de singe x³ − 3xy², que vaut rt − s² à l'origine ? Que peut-on conclure ?
- Sur sin x cos y, compte les maximums, les minimums et les points selles de la fenêtre. Quel motif forment-ils ?
- Tape ta propre fonction, par exemple x⁴ + y⁴ − 4xy : combien a-t-elle de points critiques, et de quelle nature ?
Les maths derrière l'animation
- Dérivées partielles : ∂f/∂x(x₀, y₀) est la dérivée de x ↦ f(x, y₀) en x₀ (on fige y), et ∂f/∂y(x₀, y₀) celle de y ↦ f(x₀, y) en y₀.
- Gradient : ∇f(M) = (∂f/∂x(M) ; ∂f/∂y(M)). La dérivée de f dans la direction d'un vecteur unitaire u vaut ∇f(M) · u : elle est maximale quand u a le sens du gradient.
- Plan tangent à la surface z = f(x, y) au point (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) : z = f(x₀, y₀) + ∂f/∂x(x₀, y₀)(x − x₀) + ∂f/∂y(x₀, y₀)(y − y₀).
- Un extremum local à l'intérieur du domaine est un point critique : ∇f = 0. La réciproque est fausse (points selles).
- Notations de Monge : r = ∂²f/∂x², s = ∂²f/∂x∂y, t = ∂²f/∂y² au point critique. Si rt − s² > 0 : extremum local (minimum si r > 0, maximum si r < 0) ; si rt − s² < 0 : point selle ; si rt − s² = 0, on ne peut pas conclure.
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