⚙️ La machine à fonction : image, antécédent, courbe
Une fonction, c'est une machine très obéissante : tu lui donnes un nombre, elle te rend UN résultat, toujours le même. Glisse ta bille x dans l'entonnoir, regarde les engrenages tourner, et récupère l'image f(x)… sauf si tu lui donnes un nombre interdit : là, elle tousse et elle fume !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque nombre x qui entre dans la machine ressort transformé en un seul nombre : son image f(x). Le cadre « 📐 Formules » écrit le calcul en remplaçant x par sa valeur, par exemple f(3) = 3² − 1 = 8.
- La bille s'envole ensuite vers le repère et dépose le point M(x ; f(x)) : l'abscisse est le nombre de départ, l'ordonnée est son image. En envoyant beaucoup de nombres (bouton « Pluie de points »), les points dessinent la courbe représentative Cf.
- Le tableau de valeurs se remplit en même temps : machine, tableau et courbe sont trois façons de décrire la même fonction.
- Avec la chasse aux antécédents, la droite y = k apparaît : les nombres x qui donnent f(x) = k sont les antécédents de k. Il peut y en avoir aucun, un seul ou plusieurs.
- Avec 1/x ou √x, certains nombres n'ont pas d'image : la machine tombe en panne. Ces nombres ne sont pas dans l'ensemble de définition Df.
Expériences à faire
- Avec f(x) = x² − 1, envoie 2 puis −2 : que remarques-tu ? Combien d'antécédents le nombre 3 a-t-il ?
- Cherche les antécédents de −1, puis de −5, par la fonction x² − 1 : pourquoi −5 n'en a-t-il aucun ?
- Avec √x, lance la pluie de points : quels nombres font tousser la machine ? Écris Df avec un intervalle.
- Tape ta propre fonction, par exemple (x + 1)/(x − 2) : quel nombre la machine refuse-t-elle, et pourquoi ?
- Avec la fonction affine −2x + 3, combien un nombre k a-t-il d'antécédents ? Et avec x³ − 3x, peux-tu trouver un k qui en a trois ?
Les maths derrière l'animation
- Une fonction f associe à chaque nombre x de son ensemble de définition Df un unique nombre noté f(x) : on écrit f : x ⟼ f(x).
- f(x) est l'image de x par f ; si f(x) = y, on dit que x est un antécédent de y. Un nombre a une seule image, mais peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
- Pour calculer une image, on remplace x par sa valeur dans l'expression : avec f(x) = x² − 1, f(−3) = (−3)² − 1 = 8. Pour chercher les antécédents de k, on résout l'équation f(x) = k.
- La courbe représentative Cf est l'ensemble des points M(x ; y) tels que x ∈ Df et y = f(x) : un point M est sur Cf si et seulement si yM = f(xM).
- Ensembles de définition à connaître : Df = ℝ pour x², x³ ou une fonction affine ; ℝ* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ pour 1/x (on ne divise pas par 0) ; [0 ; +∞[ pour √x.
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