🚗 La fonction inverse dans la vraie vie : y = k / x
Rouler deux fois plus vite, c'est arriver deux fois plus tôt ; partager le gâteau entre deux fois plus d'amis, c'est une part deux fois plus petite. Derrière ces évidences se cache une seule fonction : x ⟼ k/x. Fais rouler la voiture, découpe le gâteau, règle la résistance… et regarde la même hyperbole apparaître à chaque fois.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Dans le tableau de valeurs, chaque colonne double x : la ligne des y est divisée par 2 à chaque fois, et la dernière ligne x × y reste toujours égale à k. C'est la marque de la proportionnalité inverse.
- Sur le graphique, le rectangle orange de sommets O et M a pour aire x × y = k : quand M glisse sur l'hyperbole, le rectangle s'allonge et s'aplatit, mais son aire ne change jamais.
- Quand x s'approche de 0, y devient énorme : la courbe longe l'axe des ordonnées sans jamais le toucher (asymptote verticale). Quand x devient très grand, y devient minuscule : la courbe longe l'axe des abscisses (asymptote horizontale).
- La tangente en M est toujours « descendante » quand k > 0 : sa pente f′(x) = −k/x² est négative, donc la fonction est décroissante.
- Avec « ✏️ Ma fonction », la dernière ligne du tableau dit tout : si x × f(x) n'est pas constant, ce n'est pas une fonction du type k/x, même si la courbe y ressemble !
Expériences à faire
- À quelle vitesse faut-il rouler pour faire 120 km en 1 h 30 ? Et en 45 min ?
- 600 € à partager : combien de personnes au minimum pour que chacune reçoive moins de 50 € ?
- Sous 12 V, quelle résistance laisse passer 0,25 A ? Que devient I si on double R ?
- Que se passe-t-il pour la durée du trajet quand la vitesse tend vers 0 ? Peut-on faire 120 km en moins d'une minute ?
- Tape 12/x + 1 puis 12/(x + 1) dans « ✏️ Ma fonction » : ces fonctions sont-elles du type k/x ? Où sont leurs asymptotes ?
Les maths derrière l'animation
- Deux grandeurs x et y sont inversement proportionnelles si leur produit est constant : x × y = k, c'est-à-dire y = k / x. Exemples : t = d / v, part = S / n, I = U / R (loi d'Ohm).
- La fonction inverse x ⟼ 1/x est définie sur ℝ* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ ; sa courbe est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire).
- Dérivée : (k/x)′ = −k/x². Pour k > 0, la fonction x ⟼ k/x est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
- limx→0⁺ 1/x = +∞ : la droite x = 0 est asymptote verticale ; limx→+∞ 1/x = 0 : la droite y = 0 est asymptote horizontale.
- Doubler x divise y par 2 : f(2x) = f(x)/2. Le rectangle de sommets O et M(x ; k/x) a toujours la même aire k.
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