📏 La fonction affine : coefficient directeur et signe
Une fonction affine, c'est une droite qui avance toujours au même rythme : à chaque pas de 1 vers la droite, elle monte (ou descend) exactement de a. Pas de surprise, pas de virage ! Règle son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine, fais promener le petit bonhomme dessus, et regarde le signe de f(x) changer pile en x = −b/a.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le point bleu B(0 ; b) est l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées : b = f(0) est l'ordonnée à l'origine.
- L'escalier orange montre le coefficient directeur : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a (ou diminue si a est négatif). Toutes les marches sont identiques.
- Déplace M₁ et M₂ où tu veux sur la droite : le taux d'accroissement (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁), écrit en fraction dans le cadre « 📐 Formules », vaut toujours a.
- Le promeneur monte quand a > 0 (f croissante), descend quand a < 0 (f décroissante) et marche à plat quand a = 0 (f constante).
- L'axe des abscisses est vert là où f(x) > 0 et rouge là où f(x) < 0 : le signe change en x0 = −b/a, comme dans le tableau de signes.
Expériences à faire
- Garde b fixe et change a : autour de quel point la droite tourne-t-elle ?
- Garde a fixe et change b : que deviennent les droites ? Pourquoi sont-elles parallèles ?
- Avec le taxi, combien coûte une course de 25 km ? Lis-le avec M₂, puis vérifie avec f(25).
- Avec le réservoir, au bout de combien de kilomètres est-il vide ? Que représente la racine x0 ?
- Mets a = 0,5 puis a = −0,5 : dans le tableau de signes, de quel côté de x0 se trouve le « + » ?
Les maths derrière l'animation
- Une fonction affine est définie sur ℝ par f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine (b = f(0)). Sa courbe est une droite. Si b = 0, f est linéaire ; si a = 0, f est constante.
- Le taux d'accroissement est constant : pour tous x₁ ≠ x₂, a = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁). Deux points suffisent donc pour trouver a, puis b = f(x₁) − a × x₁.
- Si a > 0, f est croissante sur ℝ ; si a < 0, f est décroissante sur ℝ ; si a = 0, f est constante. Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur.
- Si a ≠ 0, f(x) = 0 ⟺ x = −b/a. Signe de ax + b : du signe de −a avant −b/a, du signe de a après (le signe de a « à droite » de la racine).
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