📏 Le flambement d'une poutre (Euler)
Appuie sur une règle en plastique posée debout : d'abord rien, puis d'un coup elle se courbe en arc. C'est le flambement, l'ennemi juré des poteaux, des bielles et des tiges de vérin. Choisis les appuis et la section, pousse la force jusqu'à la charge critique d'Euler… et découvre pourquoi les échafaudages sont faits de tubes et pas de barres pleines.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Une poutre parfaite (e0 = 0) reste rigoureusement droite tant que F < Fc, puis se dérobe latéralement dès que F dépasse Fc : c'est une bifurcation d'équilibre.
- Une poutre réelle a toujours un petit défaut de rectitude e0 : sa flèche est amplifiée par le facteur 1/(1 − F/Fc), qui explose à l'approche de Fc. Sur la courbe force-flèche, la poutre réelle (orange) rejoint la poutre parfaite (grise).
- La ruine survient quand la contrainte de flexion composée σ = F/A + M·v/I atteint Re : c'est le point rouge, à l'intersection de la courbe orange et de la droite de plastification. Une poutre réelle cède donc un peu avant Fc.
- Une poutre très élancée (le plat de 2 m) peut flamber sans casser : elle reste élastique, comme une règle qu'on courbe. Une poutre trapue (λ < λc) s'écrase avant de flamber : la courbe d'Euler est alors plafonnée par Re.
- La poutre flambe toujours autour de l'axe où le moment quadratique est le plus faible (Imin) : le plat 40 × 10 se plie dans le sens de son épaisseur.
Expériences à faire
- Double la longueur de la poutre : la charge critique est-elle divisée par 2 ou par 4 ?
- Passe de « bi-articulée » à « encastrée en pied, libre en tête » : pourquoi un mât de drapeau est-il si fragile vis-à-vis du flambement ?
- Mets un défaut initial de 5 mm : de combien la charge de ruine baisse-t-elle par rapport à la charge critique d'Euler ?
- Remplace l'acier par de l'aluminium (E trois fois plus petit, Re presque identique) : quelle poutre perd le plus de résistance, la trapue ou l'élancée ? Pourquoi ?
- À masse égale, compare le rond plein et le tube : combien de fois le tube est-il plus résistant au flambement ? Choisis ensuite ✏️ Ma section et entre un IPE 100 (A = 1 030 mm², Imin = 1,59 × 105 mm⁴, h = 55 mm) : quelle charge critique sur 3 m ?
Le cours derrière l'animation
- Charge critique d'Euler : Fc = π²·E·Imin/Lf², où Lf est la longueur de flambement (longueur de la demi-onde sinusoïdale de la déformée).
- Longueur de flambement : Lf = L (bi-articulée), 2L (encastrée-libre), ≈ 0,7L (encastrée-articulée, exactement π/4,493 L), L/2 (bi-encastrée). Passer de bi-articulée à bi-encastrée multiplie Fc par 4.
- Élancement λ = Lf/i avec le rayon de giration i = √(Imin/A). Contrainte critique σc = Fc/A = π²E/λ². Euler ne s'applique que si σc < Re, c'est-à-dire λ > λc = π√(E/Re) (≈ 94 pour l'acier S235).
- Poutre avec défaut initial e0 (de la forme du premier mode) : flèche w = e0/(1 − F/Fc) en théorie linéaire. Au-delà de Fc, l'animation utilise le post-flambement élastique de Koiter : F/Fc ≈ 1 + (π²/8)·(w/Lf)² pour la poutre parfaite.
- À masse égale (même aire A = 400 mm²), il faut éloigner la matière de l'axe pour augmenter Imin : le tube Ø 40 × 3,5 mm a un Imin 20 fois plus grand que le plat 40 × 10 mm. Hypothèses : matériau élastique parfaitement plastique, petites rotations des sections, charge centrée.
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