🚀 Exponentielle et logarithme : deux courbes symétriques
L'exponentielle et le logarithme sont deux sœurs jumelles qui se regardent dans un miroir : la droite y = x. L'une explose vers le ciel, l'autre grimpe… à la vitesse d'un escargot. Déplace M sur la courbe de eˣ, regarde son reflet M′ sur celle de ln x, compare leurs tangentes, puis organise une course entre eˣ et x⁵ : qui gagnera ?
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le point M(a ; eᵃ) et le point M′(eᵃ ; a) sont symétriques par rapport à la droite y = x : c'est parce que ln est la fonction réciproque de exp (ln(eᵃ) = a). Les deux courbes sont donc symétriques.
- La pente de la tangente en M vaut eᵃ (la fonction exp est sa propre dérivée) et celle de la tangente en M′ vaut 1/eᵃ : les pentes sont inverses l'une de l'autre, comme le veut la symétrie.
- La tangente à eˣ en M coupe l'axe des abscisses en x = a − 1 : elle passe donc par l'origine uniquement pour a = 1, au point (1 ; e).
- Dans la vue ln(ab), la barre orange (ln a) empilée sur la verte (ln b) a exactement la hauteur de la violette (ln(ab)) : le logarithme transforme les produits en sommes.
- Au début, x⁵ dépasse eˣ… mais à partir de x ≈ 12,71, l'exponentielle passe devant pour toujours. En échelle logarithmique, eˣ devient une droite et x⁵ une courbe qui s'aplatit.
Expériences à faire
- Déplace M jusqu'à a = 0 : que valent les deux pentes ? Les deux tangentes se coupent-elles ?
- Dans la vue eᵃ⁺ᵇ, garde b fixe et change a : par combien la hauteur est-elle multipliée en passant de a à a + b ?
- Dans la vue ln(ab), prends b = 1 : que vaut ln b ? Et si b = 1/a ?
- Avec eˣ contre x¹⁰, élargis la fenêtre jusqu'à 40 : à partir de quand eˣ passe-t-il devant ? Coche l'échelle logarithmique pour mieux voir.
- Pour le nombre e, combien de versements par an faut-il pour obtenir au moins 2,70 € au bout d'un an ? Et 2,718 € ? Tape aussi n = 12 (chaque mois) ou n = 365 (chaque jour).
Les maths derrière l'animation
- La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1. On note e = exp(1) ≈ 2,71828 et exp(x) = eˣ.
- Relation fonctionnelle : ea+b = eᵃ × eᵇ ; on en déduit e−a = 1/eᵃ et (eᵃ)n = ena.
- La fonction ln est la réciproque de exp sur ]0 ; +∞[ : y = ln x ⇔ x = eʸ. Ses propriétés : ln(ab) = ln a + ln b, ln(1/a) = −ln a, ln(aⁿ) = n ln a, et (ln x)′ = 1/x.
- Croissances comparées : pour tout entier n, eˣ/xⁿ → +∞ et (ln x)/x → 0 quand x → +∞. L'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme.
- Le nombre e est aussi la limite de (1 + 1/n)ⁿ quand n → +∞ : c'est ce que deviendrait en un an 1 € placé à 100 % par an, avec des intérêts composés versés à chaque instant.
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