🧭 Équations différentielles : champ de directions et Euler
Une équation différentielle, c'est une boussole posée en chaque point du plan : elle n'indique pas où tu es, mais dans quelle direction partir. Choisis ton point de départ d'un clic, et regarde la solution suivre les flèches… pendant que la méthode d'Euler essaie de faire pareil à petits pas, en trébuchant un peu.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque petit trait du champ de directions a pour pente f(x, y) : c'est la pente qu'aurait une solution passant par ce point. Les traits verts montent, les orange descendent.
- Une solution est une courbe tangente au champ en chacun de ses points : le petit mobile vert la parcourt avec sa tangente, toujours alignée avec les traits voisins. Les particules violettes, elles, se laissent porter par le champ.
- Une condition initiale y(x0) = y0 choisit une seule solution parmi toutes : deux solutions différentes ne se croisent jamais.
- La méthode d'Euler avance en ligne droite sur un pas h avec la pente du point de départ, puis recommence : la ligne brisée orange s'écarte de la vraie solution, mais l'erreur diminue quand h diminue (environ proportionnellement à h).
- Les droites vertes en pointillés sont les solutions constantes (équilibres), là où y′ = 0. Pour y′ = ay + b avec a < 0, toutes les solutions s'en rapprochent, comme la tension d'un condensateur qui se charge.
Expériences à faire
- Avec y′ = y et y(0) = 1, tape h = 0,4 puis 0,2 puis 0,1 : l'erreur en x = 2 est-elle divisée par 2 environ ? Coche ✏️ Régler au clavier pour la mesurer en x = 3.
- Avec y′ = −y + 3, place la condition initiale au-dessus puis au-dessous de 3 : vers quelle valeur vont toutes les solutions ?
- Avec y′ = −y + x, trouve la solution qui est une droite. Que vaut alors l'erreur d'Euler ? Pourquoi ?
- Avec la croissance logistique, pars d'une petite population puis d'une population plus grande que K : que se passe-t-il ?
- Avec y′ = −2y et h = 1, que fait la méthode d'Euler ? Calcule 1 + a h pour comprendre.
Les maths derrière l'animation
- Une équation différentielle y′ = f(x, y) relie une fonction inconnue y et sa dérivée. Avec une condition initiale y(x0) = y0, la solution est unique (théorème de Cauchy-Lipschitz, admis au lycée).
- Les solutions de y′ = ay sont les fonctions y = C eax ; celle qui vérifie y(x0) = y0 est y = y0 ea(x − x0).
- Les solutions de y′ = ay + b (a ≠ 0) sont y = −b/a + C eax : la constante −b/a est la solution d'équilibre. Exemples : charge d'un condensateur τ u′ + u = E, refroidissement θ′ = −k(θ − θext).
- Méthode d'Euler de pas h : xk+1 = xk + h et yk+1 = yk + h × f(xk, yk). On remplace la courbe par sa tangente sur chaque petit intervalle ; l'erreur commise est de l'ordre de h.
- Croissance logistique (Verhulst) : y′ = r y (1 − y/K). Les solutions positives tendent vers la capacité d'accueil K, en forme de S : y = K / (1 + C e−rx).
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