📈 Équations de droite : vecteur directeur et pente
Une droite, c'est une file de points bien disciplinés : tous respectent la même équation, et aucun autre point du plan ne la vérifie. Attrape deux points, regarde l'équation se fabriquer toute seule grâce au déterminant, puis promène le point test M : la quantité ax + by + c te dit de quel côté de la droite il se cache… et elle vaut zéro pile quand il monte à bord !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le vecteur u = AB dirige la droite : un point M est sur d exactement quand AM et u sont colinéaires, c'est-à-dire quand det(AM, u) = 0. En développant ce déterminant, on obtient l'équation cartésienne ax + by + c = 0.
- Pour la droite ax + by + c = 0, le vecteur u(−b ; a) est toujours un vecteur directeur : il est dessiné en orange en mode équation.
- Le plan est coupé en deux : du côté vert, ax + by + c > 0 ; du côté rouge, ax + by + c < 0. Sur la droite, la valeur est exactement 0.
- L'escalier vert montre la pente : quand x augmente de 1, y augmente de m. Quand xA = xB, la droite est verticale : elle n'a pas de pente et son équation est x = k.
- Avec « Tout multiplier par k », l'équation change mais la droite ne bouge pas : une droite a une infinité d'équations cartésiennes, toutes proportionnelles.
Expériences à faire
- Place A et B sur la même verticale : que devient l'équation cartésienne ? Pourquoi n'y a-t-il pas d'équation réduite ?
- Mets b = 0 en mode équation, puis a = 0 : quelles droites obtiens-tu ?
- Garde a et b, change seulement c : comment bougent les droites ? Pourquoi sont-elles toutes parallèles ?
- Affiche la parallèle d′ passant par C : quels coefficients sont les mêmes que pour d, et lequel change ?
- Trouve deux points à coordonnées entières sur la droite 3x − 4y + 2 = 0, puis vérifie avec A et B.
Les maths derrière l'animation
- Toute droite du plan a une équation cartésienne ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0), et u(−b ; a) est un vecteur directeur. Réciproquement, toute équation de ce type définit une droite.
- Méthode : si A(xA ; yA) ∈ d et u(ux ; uy) dirige d, alors M(x ; y) ∈ d ⟺ det(AM, u) = 0 ⟺ (x − xA) uy − ux (y − yA) = 0.
- Si b ≠ 0, la droite n'est pas verticale et a une équation réduite y = mx + p, avec la pente m = −a/b = (yB − yA)/(xB − xA) et l'ordonnée à l'origine p = −c/b. Si b = 0, la droite est verticale : x = −c/a.
- Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire si elles ont la même pente (ou sont toutes deux verticales). Multiplier a, b et c par un même réel k ≠ 0 donne une autre équation de la même droite.
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