🌱 Épreuves répétées : l'arbre qui pousse et la loi des succès
Trois lancers francs, quatre réponses au hasard dans un QCM, trois feux rouges sur le chemin du lycée… Chaque épreuve fait pousser deux nouvelles branches : au bout de n épreuves, ton arbre a 2ⁿ feuilles ! Secoue-le : les feuilles tombent et s'empilent pour dessiner la loi du nombre de succès.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- À chaque épreuve, chaque nœud donne deux branches : S (succès, en vert) et S̄ (échec, en rouge). Avec n épreuves, l'arbre a 2n chemins.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches, car les épreuves sont indépendantes.
- Quand l'arbre a fini de pousser, chaque feuille tombe dans la barre k de son nombre de succès : la barre k est une pile de blocs, un par chemin à k succès.
- Si les épreuves sont identiques, tous les blocs d'une même barre sont égaux : P(X = k) = (nombre de chemins) × pk(1 − p)n−k. C'est la loi binomiale.
- Avec les feux différents, les blocs d'une même barre n'ont plus la même taille : la loi de X n'est plus binomiale, mais E(X) reste la somme des pi.
Expériences à faire
- Trois lancers francs à 0,7 : calcule à la main la probabilité de marquer exactement 2 paniers, puis clique sur la barre k = 2 pour vérifier.
- QCM au hasard : quel est le nombre de bonnes réponses le plus probable ? Est-ce toujours n × p ?
- Avec une pièce, compte les chemins à 2 succès pour n = 2, 3, 4, 5 : reconnais-tu le triangle de Pascal ?
- Feux : quel est le chemin le plus probable avec exactement un feu vert ? Pourquoi les chemins à 1 succès ne sont-ils pas tous égaux ?
- Lance 1 000 répétitions : les traits orange des fréquences se placent-ils près du haut des barres ?
Les maths derrière l'animation
- Une épreuve de Bernoulli a deux issues : le succès S, de probabilité p, et l'échec S̄, de probabilité 1 − p.
- Pour des épreuves indépendantes, la probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches : par exemple P(S S̄ S) = p × (1 − p) × p = p2(1 − p).
- X = nombre de succès en n épreuves. P(X = k) est la somme des probabilités des chemins qui comptent k succès.
- Pour n épreuves identiques et indépendantes (schéma de Bernoulli), X suit la loi binomiale B(n ; p) : P(X = k) = (k parmi n) × pk × (1 − p)n−k, où le coefficient binomial « k parmi n » compte les chemins à k succès.
- Espérance et variance de la loi binomiale : E(X) = n p et V(X) = n p (1 − p). Pour des épreuves différentes : E(X) = p1 + p2 + … + pn.
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