🧩 La méthode des éléments finis sur une barre ou une poutre
Un logiciel de calcul ne résout jamais l'équation de la barre : il la remplace par un puzzle de petits éléments et un grand système K·U = F. Ici tu vois toutes les pièces du puzzle : le maillage, l'assemblage de la matrice de rigidité, l'encastrement, la résolution… et surtout l'écart avec la vraie solution, que l'on connaît exactement. De quoi savoir enfin si l'on peut croire les belles couleurs d'un calcul par éléments finis !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pour la barre suspendue, le déplacement calculé est une ligne brisée (éléments linéaires P1) et la contrainte est constante par élément : un escalier qui encadre la droite exacte σ = ρg(L − x).
- Aux nœuds, le déplacement de la barre est exact, même avec un maillage irrégulier et un seul élément : c'est une propriété remarquable des problèmes à une dimension (la fonction de Green est affine par morceaux).
- La matrice de rigidité est creuse : chaque élément n'ajoute qu'un petit bloc 2 × 2 (barre) ou 4 × 4 (poutre) sur la diagonale, et les blocs voisins se recouvrent d'une case. L'encastrement supprime la ligne et la colonne des inconnues bloquées.
- Sur le graphe log-log, les erreurs s'alignent sur des droites : la pente donne l'ordre de convergence. Pour la barre, l'erreur sur u décroît comme h² mais celle sur σ seulement comme h ; pour le mât (éléments d'Hermite), v décroît comme h⁴ et σ comme h².
- Le déplacement converge toujours plus vite que la contrainte : la contrainte vient d'une dérivée, et dériver une approximation la dégrade d'un ordre. C'est pour cela qu'un ingénieur raffine le maillage là où il veut des contraintes fiables.
Expériences à faire
- Avec un seul élément, l'erreur sur le déplacement de la barre vaut 25 %. Que devient-elle avec 2, puis 4 éléments ? Retrouves-tu la loi en 1/(4N²) ?
- Lance « Assembler pas à pas » avec N = 4 : vois-tu pourquoi les cases diagonales valent 2 et les coins 1 ?
- Active le maillage irrégulier : les valeurs aux nœuds restent-elles exactes ? Et l'erreur sur la contrainte, augmente-t-elle ?
- Pour le mât, combien d'éléments faut-il pour que l'erreur sur la contrainte descende sous 1 % ? Et pour la barre ? Coche ✏️ Mes valeurs et change la longueur, le matériau ou la charge : les déplacements changent, mais les erreurs relatives ?
- Pourquoi la flèche au sommet du mât est-elle exacte dès N = 1, alors que la contrainte est fausse de 17 % ?
Le cours derrière l'animation
- Barre : E·A·u'' + ρgA = 0, u(0) = 0 et σ(L) = 0. Élément P1 de longueur h : ke = (EA/h)·[1 −1 ; −1 1] et fe = (ρgAh/2)·[1 ; 1]. Solution exacte : u = (ρg/E)(Lx − x²/2), σ = ρg(L − x).
- Assemblage : Kij = Σe ke placée aux lignes et colonnes des nœuds de l'élément ; K est symétrique, définie positive (après conditions aux limites) et tridiagonale pour P1. On résout K·U = F (ici par l'algorithme de Thomas ou le pivot de Gauss).
- Poutre d'Euler-Bernoulli : E·I·v'''' = q. Élément d'Hermite à 4 degrés de liberté (v1, θ1, v2, θ2) : ke = (EI/h³)·[12 6h −12 6h ; 6h 4h² −6h 2h² ; −12 −6h 12 −6h ; 6h 2h² −6h 4h²], charges nodales cohérentes qh·[½ ; h/12 ; ½ ; −h/12].
- Erreur a priori : pour des éléments de degré k et une solution régulière, ‖u − uh‖ = O(hk+1) en norme L² et l'erreur sur la dérivée (donc sur σ) est O(hk). Ici : barre P1 → pentes −2 et −1 ; mât Hermite (cubique) → pentes −4 et −2.
- Hypothèses : élasticité linéaire, petites déformations, acier E = 210 GPa et ρ = 7 850 kg/m³, barre de 300 m sous son poids, mât tubulaire Ø 200 × 8 mm de 10 m sous un vent de 0,5 kN/m. Les déformées sont très amplifiées pour être visibles.
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