🎲 Échantillonnage : fluctuation et intervalle p ± 1/√n
Lance 100 fois une pièce : tu n'obtiendras presque jamais pile 50 « Pile ». Recommence : encore un autre nombre ! Les fréquences fluctuent… mais pas n'importe comment. Tire des échantillons à la chaîne, regarde les points se ranger dans la bande verte, puis joue au juge : ce jury du Texas a-t-il vraiment été tiré au hasard ?
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque échantillon est une mosaïque de n boules tirées dans l'urne (avec remise) : la part de cases orange est la fréquence observée f = k/n. Elle change d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
- Chaque fréquence devient un point du nuage. La bande verte est l'intervalle de fluctuation I = [p − 1/√n ; p + 1/√n] : environ 95 % des points (souvent un peu plus) y tombent, et l'histogramme sur le côté se resserre autour de p.
- Quand n augmente, l'intervalle rétrécit comme 1/√n : il faut 4 fois plus de tirages pour une bande 2 fois plus étroite.
- Avec « Tester une fréquence observée », l'étoile fobs est comparée à I : si elle tombe dehors, on rejette l'hypothèse « la proportion vaut p » avec un risque d'erreur d'environ 5 %. Pour le jury de Castaneda, 339 Mexicains-Américains sur 870 jurés, c'est très loin de la bande !
- Les fourchettes [f − 1/√n ; f + 1/√n] servent à estimer p quand on ne le connaît pas : environ 95 % d'entre elles contiennent la vraie valeur.
Expériences à faire
- Avec n = 100, tire au moins 100 échantillons : quel pourcentage tombe dans l'intervalle ? Et avec n = 25 ?
- Quelle taille n faut-il pour que l'intervalle ait une amplitude de 0,1 ? De 0,02 ?
- La pièce qui donne 60 « Pile » sur 100 est-elle truquée ? Et 65 sur 100 ? Et 600 sur 1 000 ?
- Pourquoi les conditions n ≥ 25 et 0,2 ≤ p ≤ 0,8 sont-elles importantes ? Essaie avec le daltonisme (p = 0,08) et n = 30.
- Avec « ✏️ Mes valeurs », choisis p au hasard sans le regarder, tire un échantillon et donne une fourchette pour p.
Les maths derrière l'animation
- Un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois, de façon indépendante, la même expérience à deux issues. La fréquence observée du caractère est f = k/n, où k est le nombre de succès.
- Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : si 0,2 ≤ p ≤ 0,8 et n ≥ 25, la fréquence f appartient à I = [p − 1/√n ; p + 1/√n] dans au moins 95 % des échantillons environ.
- Prise de décision : si fobs ∉ I, on rejette l'hypothèse « la proportion est p » (risque d'erreur d'environ 5 %) ; si fobs ∈ I, on ne la rejette pas : l'écart peut s'expliquer par le hasard.
- Estimation : quand p est inconnu, l'intervalle [f − 1/√n ; f + 1/√n] contient p avec un niveau de confiance d'environ 95 %.
- Loi des grands nombres : plus n est grand, plus les fréquences se concentrent autour de p (l'amplitude 2/√n tend vers 0).
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