🚀 Approcher une racine : Newton contre la dichotomie
Pour trouver √2, la dichotomie coupe l'intervalle en deux, encore et encore, comme un randonneur prudent. Isaac Newton, lui, prend l'ascenseur : il suit la tangente jusqu'à l'axe… et gagne une décimale, puis deux, puis quatre, puis huit ! Lance la course et regarde qui franchit la ligne d'arrivée en premier.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque tangente violette part du point (xₙ ; f(xₙ)) de la courbe et coupe l'axe des abscisses en xₙ₊₁, beaucoup plus près de la racine que xₙ.
- Avec le zoom automatique, on grossit 10, 100, 10 000 fois… et la courbe finit par se confondre avec sa tangente : c'est pour cela que la méthode marche si bien.
- Dans le tableau, les décimales justes sont en vert : avec Newton, leur nombre double à peu près à chaque étape (pour √2 en partant de 3 : 1, puis 3, puis 6, puis 13).
- Dans la course, la dichotomie avance d'un pas régulier (environ 3,3 étapes par décimale), le balayage à pas décroissants va à peu près au même rythme, et Newton fonce dès qu'il est près de la racine.
- Si la tangente est horizontale (f′(xₙ) = 0), elle ne coupe pas l'axe : Newton échoue. Mal parti, il peut aussi trouver une autre racine ou s'envoler.
Expériences à faire
- Avec √2 et x₀ = 3, calcule x₁ à la main avec la formule, puis vérifie dans le tableau.
- Combien d'étapes faut-il à la dichotomie pour 10⁻⁶ ? Et pour 10⁻¹² ? Pourquoi environ 3,3 étapes de plus par décimale ?
- Pour x² − 2, place x₀ du côté négatif : vers quelle racine Newton se dirige-t-il ?
- Avec l'équation de Newton x³ − 2x − 5 = 0, pars de x₀ = 0 : que se passe-t-il ? Et de x₀ = 2 ?
- Avec « ✏️ Ma fonction », approche ln 5 en cherchant la racine de eˣ − 5.
Les maths derrière l'animation
- La tangente à la courbe de f au point d'abscisse xₙ a pour équation y = f′(xₙ)(x − xₙ) + f(xₙ). Elle coupe l'axe des abscisses en xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ), à condition que f′(xₙ) ≠ 0.
- Exemple : pour f(x) = x² − 2, la formule devient xₙ₊₁ = xₙ − (xₙ² − 2)/(2xₙ) = (xₙ + 2/xₙ)/2 (méthode de Héron). Avec x₀ = 3 : x₁ ≈ 1,833 ; x₂ ≈ 1,462 ; x₃ ≈ 1,4150 ; x₄ ≈ 1,414214.
- Près d'une racine simple, l'erreur vérifie eₙ₊₁ ≈ C eₙ² : la convergence est quadratique, le nombre de décimales justes double environ à chaque étape.
- Dichotomie : si f est continue et f(a) × f(b) ≤ 0, le théorème des valeurs intermédiaires garantit une racine dans [a ; b]. Après n étapes, l'intervalle mesure (b − a)/2n : il faut n ≥ log2((b − a)/ε) étapes pour la précision ε.
- Balayage : on calcule f(a), f(a + p), f(a + 2p)… jusqu'au changement de signe, puis on recommence avec un pas 10 fois plus petit. Un balayage direct au pas ε demanderait environ (α − a)/ε calculs.
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