🧩 Les développements limités : polynômes de Taylor
Ta calculatrice ne connaît pas vraiment sin, exp ou ln : elle ne sait faire que des additions et des multiplications. Son secret ? Remplacer la fonction par un polynôme qui lui colle à la peau autour d'un point. Ajoute des termes un à un et regarde la courbe orange épouser la bleue… jusqu'à un certain point !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- À l'ordre 1, le polynôme de Taylor est la tangente au point a ; à l'ordre 2, une parabole qui suit aussi la courbure ; chaque nouveau terme agrandit la zone verte où l'erreur est inférieure à 0,01.
- Pour eˣ, sin x et cos x, la zone verte grandit sans fin quand n augmente : la série de Taylor converge pour tout x.
- Pour ln(1 + x) et 1/(1 − x), le polynôme s'emballe au-delà des pointillés violets, quel que soit l'ordre : c'est le rayon de convergence, égal à la distance entre a et le point où la fonction n'est plus définie.
- Pour sin x en a = 0, les coefficients pairs sont nuls : passer de l'ordre 5 à l'ordre 6 ne change rien, il faut aller jusqu'à l'ordre 7 pour gagner en précision.
- Avec le pendule, on voit que sin θ ≈ θ reste précis à 1 % près jusqu'à environ 14°, soit 0,24 rad : c'est l'approximation des petites oscillations.
Expériences à faire
- Pour eˣ en a = 0, quel ordre faut-il pour que l'erreur en x = 2 soit inférieure à 0,01 ?
- Déplace le centre a du développement de ln(1 + x) : comment évolue le rayon de convergence ? Pourquoi ?
- Compare cos x et son développement d'ordre 2, 1 − x²/2 : jusqu'où la parabole reste-t-elle bonne ?
- Avec √(1 + x), retrouve l'approximation 1 + x/2 : quelle est l'erreur pour x = 0,1 ? Et pour x = 1 ?
- Choisis « ✏️ Ma fonction » et tape 1/(1+x^2) : elle est définie partout, et pourtant son développement en 0 ne converge que pour |x| < 1. Étonnant, non ?
Les maths derrière l'animation
- Formule de Taylor-Young : si f est n fois dérivable en a, f(x) = Σk=0..n f(k)(a)/k! × (x − a)k + o((x − a)n) ; le polynôme Tn est le polynôme de Taylor d'ordre n.
- Développements usuels en 0 : eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + … ; sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − … ; cos x = 1 − x²/2 + x⁴/24 − …
- ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … et 1/(1 − x) = 1 + x + x² + … : ces séries ne convergent que pour |x| < 1 (et en x = 1 pour ln(1 + x)) ; √(1 + x) = 1 + x/2 − x²/8 + …
- Approximations de physique (θ et x petits, θ en radians) : sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2, eˣ ≈ 1 + x, (1 + x)α ≈ 1 + αx. Ce sont des développements limités à l'ordre 1 ou 2.
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