🍨 Dénombrement : listes, arrangements et combinaisons
Trois boules de glace parmi cinq parfums : combien de coupes différentes ? Et si l'ordre des boules dans le cornet compte ? Ici, tu remplis toi-même les cases, l'animation compte les choix à chaque étape… puis affiche TOUTES les possibilités. Le grand moment : les tirages ordonnés s'envolent et se rangent en paquets de k!, et la formule des combinaisons apparaît toute seule !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Sous chaque case du tirage s'affiche le nombre de choix possibles à cette étape : n à chaque fois si on peut reprendre un objet, puis n − 1, n − 2… sinon. Le nombre total est le produit de ces nombres : c'est le principe multiplicatif.
- Quand l'ordre compte, (Vanille, Fraise) et (Fraise, Vanille) sont deux possibilités différentes ; dans une coupe, c'est la même partie {Vanille ; Fraise}, rangée dans l'ordre croissant.
- Le bouton « 🔀 Regrouper les ordres » range les tirages ordonnés en paquets : chaque paquet contient exactement k! tirages formés des mêmes objets. D'où (n k) = [n × (n − 1) × … × (n − k + 1)] / k!.
- Dans la liste de droite, les possibilités sont rangées dans l'ordre du dictionnaire ; ton tirage y est entouré et son numéro est affiché.
- Dans le triangle de Pascal, la case (n ; k) est la somme des deux cases au-dessus : les parties qui contiennent le premier objet et celles qui ne le contiennent pas. La somme de la ligne n vaut 2n.
Expériences à faire
- Coupe de 3 parfums parmi 5 : combien de possibilités ? Coche « l'ordre compte » : pourquoi le nombre est-il multiplié par 6 ?
- Un cadenas à 3 chiffres a 1 000 codes. Combien en a-t-il avec 4 chiffres ? Et si les chiffres doivent être tous différents ?
- Au loto, combien de grilles de 5 numéros parmi 49 ? Si tu joues une grille par seconde, combien de jours faut-il pour toutes les jouer ?
- Que se passe-t-il quand k dépasse n sans répétition ? Et avec k = 0 ?
- Avec « ✏️ Mes objets », tape les élèves de ton groupe : combien de façons d'élire un délégué et un suppléant ? Et de choisir 2 délégués sans rôle ?
Les maths derrière l'animation
- Principe multiplicatif : si une première étape offre p choix et la suivante q choix, il y a p × q possibilités en tout.
- Nombre de k-uplets (ou k-listes) d'un ensemble à n éléments, l'ordre compte et les répétitions sont permises : nk.
- Nombre de k-uplets d'éléments distincts (arrangements) : n × (n − 1) × … × (n − k + 1) = n!/(n − k)!. Pour k = n, ce sont les permutations : n! = 1 × 2 × … × n, avec 0! = 1.
- Nombre de parties à k éléments (combinaisons, l'ordre ne compte pas) : C(n, k) = n!/(k!(n − k)!), noté (n k) et lu « k parmi n ».
- Relation de Pascal : (n k) = (n − 1 k − 1) + (n − 1 k) ; symétrie (n k) = (n n − k) ; somme d'une ligne : Σ (n k) = 2n, le nombre de parties d'un ensemble à n éléments.
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