🟦 Les déformations d'un petit élément de matière
Un carré de matière, un cercle dessiné dedans, et quatre nombres pour tout décider : le gradient du déplacement. Le carré s'étire, se penche, tourne… et le cercle devient une ellipse qui dévoile, sans calcul, les directions principales. Sépare ce qui déforme vraiment la matière de ce qui la fait seulement tourner, et colle une rosette de jauges comme au laboratoire.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le cercle inscrit devient une ellipse : ses axes sont les directions principales de déformation, le long desquelles la matière s'allonge (ε1) ou se raccourcit (ε2) sans aucun glissement.
- Le gradient ∇u se coupe en deux : sa partie symétrique ε déforme le carré, sa partie antisymétrique Ω le fait seulement tourner. Une rotation pure laisse ε nul, l'aire inchangée et les jauges à zéro.
- Les lignes tracées dans le carré restent droites et parallèles : la déformation est homogène, c'est-à-dire la même en tout point de l'élément.
- Quand tu tournes le repère (x', y') de θ, le point x' parcourt le cercle de Mohr de 2θ. Le glissement γx'y' s'annule pour les directions principales, et il est maximal à 45° de celles-ci.
- Les vraies déformations des métaux sont de l'ordre de 10⁻³ : l'affichage est amplifié 40 fois. La partie « rotation » est tracée comme une vraie rotation, pour qu'elle ne crée pas de fausse déformation à l'écran.
Expériences à faire
- Règle seulement γxy : dans quelles directions le carré s'allonge-t-il et se raccourcit-il ? Que vaut l'angle α ?
- En mode gradient, mets ∂ux/∂y = 4 et laisse le reste à 0 (glissement simple) : est-ce un glissement pur ? Quelle rotation apparaît ?
- Pour εxx = εyy, que devient l'ellipse ? Y a-t-il encore des directions principales particulières ?
- Active la rosette et tourne-la : retrouves-tu γx'y' = 2δb − δa − δc à partir des trois jauges ? Change aussi la résistance R0 et le facteur de jauge k (jauge métallique k ≈ 2, jauge semi-conductrice k ≈ 100) : que devient ΔR ?
- Tire la poignée du côté droit vers le haut : quelles composantes de ∇u changes-tu ?
Le cours derrière l'animation
- Gradient du déplacement : ∇u = ε + Ω, avec ε = ½(∇u + ∇uT) (petites déformations, symétrique) et Ω = ½(∇u − ∇uT) (petites rotations, antisymétrique). En 2D, ω = ½(∂uy/∂x − ∂ux/∂y).
- Allongement relatif dans la direction unitaire h : δ(h) = h·ε·h ; distorsion angulaire de deux directions orthogonales h et t : γ = 2 h·ε·t. Variation d'aire (2D) : ΔS/S = tr ε = εxx + εyy.
- Déformations principales : ε1,2 = ½(εxx + εyy) ± √(¼(εxx − εyy)² + εxy²), direction α telle que tan 2α = 2εxy/(εxx − εyy). Le glissement maximal vaut γmax = ε1 − ε2.
- Rosette 0°/45°/90° : εx'x' = δa, εy'y' = δc, γx'y' = 2δb − δa − δc ; chaque jauge donne ΔR/R0 = k·δ avec un facteur de jauge k ≈ 2.
- Hypothèse des petites perturbations : ‖∇u‖ ≪ 1, on confond configurations initiale et déformée et l'on néglige les termes du second ordre (sinon il faut le tenseur de Green-Lagrange E = ½(FTF − I)).
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