🚗 Convexité et point d'inflexion : la voiture sur la courbe
Mets une petite voiture sur la courbe et laisse-la rouler de gauche à droite. Quand elle tourne le volant à gauche, la fonction est convexe ; à droite, elle est concave. Et au moment précis où le volant revient droit avant de tourner de l'autre côté : bienvenue au point d'inflexion, là où la tangente traverse la courbe.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La tangente en M est verte quand la courbe est au-dessus (convexe, f″(a) > 0) et orange quand la courbe est au-dessous (concave, f″(a) < 0).
- À droite, la courbe de f′ monte quand f est convexe : f′ croissante ⇔ f″ ≥ 0. La courbe de f″ est coloriée en vert là où elle est positive, en orange là où elle est négative.
- Le volant suit la courbure de la route : il tourne à gauche sur les parties convexes, à droite sur les parties concaves, et il est droit au point d'inflexion I.
- Avec la corde [AB], la courbe d'une fonction convexe est sous la corde (zone verte) ; si la corde coupe la courbe, f n'est ni convexe ni concave sur [A ; B].
- Le piège x⁴ : f″(0) = 0, mais f″ ne change pas de signe, la tangente ne traverse pas la courbe : ce n'est pas un point d'inflexion.
Expériences à faire
- Avec x⁴/4 − 3x²/2, combien de points d'inflexion trouves-tu ? Vérifie en résolvant f″(x) = 3x² − 3 = 0.
- Avec la cloche e^(−x²/2), où sont les points d'inflexion ? Pourquoi la cloche est-elle convexe sur les côtés ?
- Avec x³, quelle est la tangente au point d'inflexion ? Est-elle horizontale ?
- Avec ln x et eˣ, place une corde [AB] : est-elle au-dessus ou au-dessous de la courbe ?
- Avec ✏️ Ma fonction, tape x³/6 − x²/2 : trouve à la main le point d'inflexion, puis vérifie avec la voiture.
Les maths derrière l'animation
- f est convexe sur I si sa courbe est au-dessus de ses tangentes : pour tout x de I, f(x) ≥ f′(a)(x − a) + f(a). Elle est alors en dessous de ses cordes.
- Pour f deux fois dérivable : f convexe sur I ⇔ f′ croissante sur I ⇔ f″(x) ≥ 0 sur I. f concave ⇔ f′ décroissante ⇔ f″(x) ≤ 0.
- Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la convexité change. Si f″ s'annule en changeant de signe en a, le point (a ; f(a)) est un point d'inflexion.
- Exemples : ex est convexe sur ℝ (f″ = ex > 0) ; ln x est concave sur ]0 ; +∞[ (f″ = −1/x² < 0) ; x³ − 3x a un point d'inflexion en 0 (f″ = 6x).
- Équation de la tangente en a : y = f′(a)(x − a) + f(a).
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