✂️ Continuité, valeurs intermédiaires et dichotomie
Tu pars du rez-de-chaussée et tu arrives au 3e étage par l'escalier : tu es forcément passé par le 2e. C'est ça, le théorème des valeurs intermédiaires… à condition de ne pas sauter ! Ici, tu vérifies que la courbe coupe bien la droite y = k, tu essaies de tricher avec une courbe qui saute, puis tu coinces la solution en coupant l'intervalle en deux, encore et encore.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le rectangle vert [a ; b] × [f(a) ; f(b)] : toute droite horizontale y = k qui le traverse coupe la courbe d'une fonction continue. Les solutions c de f(x) = k sont marquées en vert.
- Avec la partie entière ou 1/x, la courbe saute : le rectangle devient rouge, le théorème ne s'applique plus, et l'équation peut n'avoir aucune solution alors que k est bien entre f(a) et f(b).
- Si f est strictement monotone sur [a ; b], la solution est unique ; avec x³ − 3x, on peut en trouver trois.
- La dichotomie garde la moitié de l'intervalle où f(x) − k change de signe : le tableau des étapes et le code Python avancent ligne par ligne, et le zoom suit l'intervalle qui rétrécit.
- Avec 1/x sur [−1 ; 1], la dichotomie « converge »… vers 0, où il n'y a pas de solution : sans continuité, l'algorithme peut se tromper.
Expériences à faire
- Avec x² et k = 2 sur [1 ; 2], combien d'étapes faut-il pour connaître √2 à 10⁻³ près ? Compare avec la formule n ≥ log₂((b − a)/10⁻³).
- Avec x³ − 3x, déplace k : pour quelles valeurs y a-t-il 1, 2 ou 3 solutions entre −2,5 et 2,5 ?
- Avec la partie entière, prends k = 1 : combien de solutions ? Et k = 0,5 ?
- Avec ✍️ Ma courbe, déplace les points violets : peux-tu passer de sous la droite à au-dessus sans la couper, sans utiliser le saut ?
- Avec ✏️ Ma fonction, résous x³ − 2x − 5 = 0 (l'équation de Wallis) par dichotomie à 10⁻⁶ près.
Les maths derrière l'animation
- Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a ; b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet au moins une solution c dans [a ; b].
- Corollaire : si de plus f est strictement monotone sur [a ; b], cette solution est unique.
- Les fonctions polynômes, exponentielle, logarithme, sinus et cosinus sont continues sur leur ensemble de définition ; la partie entière ne l'est pas aux entiers.
- Dichotomie : m = (a + b)/2 ; si (f(a) − k)(f(m) − k) ≤ 0, la solution est dans [a ; m], sinon dans [m ; b]. Après n étapes, bn − an = (b − a)/2n.
- Pour une précision e, il faut n ≥ log2((b − a)/e) étapes : 10 étapes pour 10−3, 20 étapes pour 10−6 sur un intervalle de longueur 1.
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