⚪ Le contact de Hertz
Une bille de roulement ne touche sa bague que sur une tache plus petite qu'une tête d'épingle… et y subit plusieurs milliers de mégapascals ! Presse deux solides l'un contre l'autre, change les matériaux, passe d'une bille à une roue de train, et découvre pourquoi les roulements s'abîment d'abord sous la surface, là où personne ne regarde.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La zone de contact n'est pas un point : c'est un petit disque (sphère), une bande (cylindre) ou une ellipse (roulement, roue sur rail), de quelques dixièmes de millimètre pour l'acier. La vue de dessus est à l'échelle ; la coupe, elle, exagère beaucoup les déformations.
- La pression a la forme d'une demi-ellipse : maximale au centre (p0), nulle au bord. Pour un contact ponctuel, p0 vaut 1,5 fois la pression moyenne.
- Quand on double la force, l'aire de contact grandit elle aussi : la pression maximale n'augmente que de ∛2 ≈ 1,26 pour un contact ponctuel (et de √2 pour un contact linéique).
- Le cisaillement maximal n'est pas en surface mais à une profondeur d'environ 0,48 a (sphère) ou 0,79 b (cylindre) : c'est là que naissent les fissures de fatigue qui finissent par écailler les roulements.
- Avec du caoutchouc, E* est des milliers de fois plus petit : l'aire de contact devient énorme et la pression minuscule. Mais attention, la théorie de Hertz suppose a ≪ R : au-delà de a = R/10, un avertissement s'affiche.
Expériences à faire
- Avec la bille d'acier de 5 mm sur un plan d'acier, retrouves-tu l'exemple du cours (a ≈ 0,15 mm et p0 ≈ 2 200 MPa pour 100 N) ?
- Remplace la bille d'acier du roulement par une bille en nitrure de silicium (roulement hybride) : la pression augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? Pourquoi ?
- Choisis ✏️ Mon matériau pour la bille et donne-lui E = 5 MPa (caoutchouc), puis E = 1 050 GPa (diamant) : comment varient a et p0 ? Avec ✏️ Mon contact, loge ensuite une bille de 5 mm dans une gorge creuse (R2y = −5,2 mm) : que devient l'aire de contact ?
- Roue de train sur rail à 110 kN : quelle limite d'élasticité minimale faudrait-il à l'acier du rail d'après le critère de Tresca ? Que se passe-t-il en réalité sur les rails très chargés ?
- Pour un cylindre, multiplie la longueur ℓ par 4 à force égale : par combien la pression maximale est-elle divisée ?
Le cours derrière l'animation
- Module équivalent : 1/E* = (1 − ν1²)/E1 + (1 − ν2²)/E2 ; rayon équivalent : 1/R* = 1/R1 + 1/R2 (R2 infini pour un plan). Avec les notations du cours : k1 + k2 = 1/(πE*).
- Contact ponctuel circulaire : a = (3F·R*/(4E*))1/3, p0 = 3F/(2πa²) = 1,5 pm, rapprochement δ = a²/R*, et p(r) = p0·√(1 − r²/a²). Donc a ∝ F1/3, p0 ∝ F1/3 et δ ∝ F2/3.
- Contact linéique (cylindre de longueur ℓ) : q = F/ℓ, demi-largeur b = √(4q·R*/(πE*)), p0 = 2q/(πb) = √(q·E*/(πR*)) ; rapprochement δ = (b²/R*)·½·(½ + ln 2 + ln(ℓ/b)).
- Contact elliptique (bille dans la gorge d'une bague, roue sur rail) : l'excentricité de l'ellipse ne dépend que du rapport des courbures, B/A = ((a/b)²·E(e) − K(e))/(K(e) − E(e)) ; puis a³ = 3F·(K − E)/(2π·E*·A·e²) et p0 = 3F/(2πab). L'animation calcule exactement les intégrales elliptiques K et E.
- Le cisaillement maximal vaut environ 0,31 p0 à la profondeur z ≈ 0,48 a (sphère, ν = 0,3) et 0,30 p0 à z ≈ 0,79 b (cylindre). D'après Tresca, la plastification commence si Re < 2τmax. Hypothèses : élasticité linéaire, a ≪ R, surfaces lisses, sans frottement.
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