🕐 Les congruences : l'horloge modulo n
Quand il est 23 h et qu'on ajoute 5 heures, personne ne dit « il est 28 h » : on fait le tour du cadran et on annonce 4 h. Bravo, tu fais déjà de l'arithmétique modulo 24 ! Ici, l'horloge a autant de cases que tu veux : fais tourner les nombres et laisse les restes travailler à ta place.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le pion part de 0 et avance de a cases. Chaque tour complet vaut n : le nombre de tours est le quotient q, la case d'arrivée est le reste r. C'est la division euclidienne a = n × q + r avec 0 ≤ r < n.
- Au centre, la spirale enroule les entiers 0, 1, 2… : tous les nombres qui ont le même reste se retrouvent sur le même rayon. Ce sont les nombres congrus à r modulo n.
- Avec un deuxième nombre b, les deux pions s'arrêtent sur la même case exactement quand a − b est un multiple de n : c'est la définition de a ≡ b [n].
- En mode calcul, on tombe sur la même case en ajoutant (ou en multipliant) les deux grands nombres ou seulement leurs restes : c'est la compatibilité des congruences avec + et ×.
- Pour les puissances, les restes tournent en rond : il suffit de connaître la longueur du cycle pour trouver le dernier chiffre d'une énorme puissance, sans calculatrice.
Expériences à faire
- Avec n = 12, compare 29, 41 et −7 : où s'arrêtent-ils ? Que valent leurs différences ?
- Que se passe-t-il quand tu appuies sur « a + n » ? Pourquoi le pion revient-il toujours sur la même case ?
- Quel est le cycle des derniers chiffres de 2ᵏ ? Et de 3ᵏ, de 5ᵏ, de 6ᵏ ? Lesquels ne bougent jamais ?
- Modulo 7, peux-tu trouver deux nombres non multiples de 7 dont le produit est un multiple de 7 ? Et modulo 9 ? Quelle différence entre 7 et 9 ?
- Quel jour de la semaine sera ton anniversaire dans 10 ans ? Combien de jours faut-il compter (attention aux années bissextiles) ?
Les maths derrière l'animation
- Division euclidienne : pour tout entier a et tout entier n ≥ 2, il existe un unique couple d'entiers (q ; r) tel que a = n × q + r avec 0 ≤ r < n.
- Congruence : a ≡ b [n] ⟺ n divise a − b ⟺ a et b ont le même reste dans la division par n. En particulier, a ≡ r [n].
- Compatibilité : si a ≡ a' [n] et b ≡ b' [n], alors a + b ≡ a' + b' [n], a × b ≡ a' × b' [n] et ap ≡ a'p [n] pour tout entier naturel p.
- Puissances : si aλ ≡ 1 [n] et k = λ × q + s, alors ak ≡ as [n]. Exemple : 34 = 81 ≡ 1 [10], donc le dernier chiffre de 3k ne dépend que du reste de k dans la division par 4.
- Calendrier : si N = 7 × q + r, dans N jours on sera le même jour de la semaine que dans r jours.
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