⛓️ La composée u∘v : deux machines à la chaîne
Une fonction composée, c'est une chaîne de montage : le nombre x entre dans la machine v, ressort transformé en v(x), puis file directement dans la machine u. Mais attention : si la première machine fabrique une pièce que la seconde refuse (un nombre négatif pour une racine carrée !), toute la chaîne s'arrête. Et pour la dérivée, c'est une affaire de loupes : chaque machine étire ou écrase les petits écarts, et les étirements se multiplient.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque flèche orange relie un nombre x à son image v(x) ; chaque flèche bleue relie v(x) à u(v(x)). On lit u∘v(x) = u(v(x)) en suivant la chaîne de haut en bas : d'abord v, ensuite u.
- Sur la première droite, la bande verte montre les x qui traversent toute la chaîne : c'est l'ensemble de définition Du∘v = {x ∈ Dv ; v(x) ∈ Du}. En rouge, la chaîne casse (croix rouges).
- La loupe : un petit écart h autour de x devient environ v′(x)·h après la première machine, puis u′(v(x))·v′(x)·h après la seconde. Les deux facteurs se multiplient : c'est la formule (u∘v)′(x) = v′(x) × u′(v(x)).
- Quand une dérivée est négative, la petite flèche de la loupe change de sens : la machine renverse l'ordre des nombres.
- Avec « ⇄ Échanger u et v », la courbe change complètement : en général, v∘u ≠ u∘v.
Expériences à faire
- Avec u(x) = x² et v(x) = 2x + 1, calcule à la main u∘v(1) puis v∘u(1) : sont-ils égaux ?
- Avec √(1 − x²), promène x : pour quels x la 2ᵉ machine casse-t-elle ? Retrouve Du∘v = [−1 ; 1] en résolvant 1 − x² ≥ 0.
- Avec ln(x² − 1), place x = 2 : vérifie la formule (u∘v)′(2) = v′(2) × u′(3) = 4 × 1/3.
- Avec cos(3x), regarde la loupe : pourquoi la courbe oscille-t-elle trois fois plus vite que cos x ?
- Tape tes machines (✏️) : peux-tu obtenir esin x ? Et sin(eˣ) ?
Les maths derrière l'animation
- La composée de v suivie de u est la fonction u∘v : x ↦ u(v(x)). Elle est définie pour les x tels que x ∈ Dv et v(x) ∈ Du.
- L'ordre compte : u∘v et v∘u sont en général différentes. Exemple : u(x) = x², v(x) = 2x + 1 donnent u∘v(x) = (2x + 1)² mais v∘u(x) = 2x² + 1.
- Si v est dérivable en x et u dérivable en v(x), alors u∘v est dérivable en x et (u∘v)′(x) = v′(x) × u′(v(x)).
- Cas usuels : (eu)′ = u′eu ; (ln u)′ = u′/u (si u > 0) ; (√u)′ = u′/(2√u) (si u > 0) ; (un)′ = n u′ un−1 ; (cos(ax + b))′ = −a sin(ax + b).
- Exemple : f(x) = e−x² = u(v(x)) avec v(x) = −x² et u = exp, donc f′(x) = −2x e−x².
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