⛵ Complexes : translation, rotation et homothétie
Un petit voilier navigue dans le plan complexe… et les nombres complexes tiennent la barre ! Ajouter b le fait glisser, multiplier par e^(iθ) autour d'un centre le fait tourner, multiplier par k le fait grandir ou se retourner. À toi de piloter : superpose le bateau à son ombre en trouvant la bonne transformation, puis enchaîne-en deux pour découvrir une surprise.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La figure F (en bleu foncé) se transforme en direct en son image F′ (en orange) ; pendant la lecture, une copie jaune fait le trajet, pour voir la translation glisser, la rotation tourner et l'homothétie s'agrandir.
- Le sommet A est suivi : son affixe zA, celle de son image zA′ et le calcul complet s'affichent. Pour une rotation, A et A′ sont sur un même cercle de centre Ω ; pour une homothétie, Ω, A et A′ sont alignés.
- Avec un rapport k négatif, l'homothétie fait passer la figure de l'autre côté du centre, la tête en bas : c'est une homothétie de rapport |k| suivie d'un demi-tour.
- En composant deux transformations, on obtient toujours une écriture z″ = az + b : si a = 1, c'est une translation ; sinon la composée a un point fixe ω = b/(1 − a), marqué d'une croix verte.
- Dans les missions, l'ombre verte est l'image de la figure par une transformation cachée : il faut retrouver son type et ses paramètres.
Expériences à faire
- Avec une rotation de centre O et d'angle 90°, que devient le point d'affixe 1 ? Et le point d'affixe i ?
- Quelle homothétie est aussi une rotation ? Compare k = −1 et θ = 180°.
- Compose deux rotations de même centre : quelle est la composée ? Et deux homothéties de même centre ?
- Compose une rotation d'angle 90° et une homothétie de rapport 2 de même centre : que vaut a = a₂a₁ ? Quelle est la nature de la composée ?
- Avec ✏️ Ma figure, tape les affixes d'un carré et cherche toutes les rotations qui le laissent globalement en place.
Les maths derrière l'animation
- On associe à tout point M du plan son affixe z ; une transformation associe au point M d'affixe z le point M′ d'affixe z′.
- Translation de vecteur w d'affixe b : z′ = z + b. Le vecteur MM′ a toujours pour affixe b.
- Rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ : z′ − ω = eiθ(z − ω). Elle conserve les distances : |z′ − ω| = |z − ω| et arg((z′ − ω)/(z − ω)) = θ.
- Homothétie de centre Ω et de rapport k réel non nul : z′ − ω = k(z − ω). Ω, M et M′ sont alignés, les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par k².
- Chacune s'écrit z′ = az + b ; la composée de deux telles transformations aussi, avec a = a₂a₁ et b = a₂b₁ + b₂. Si a ≠ 1, son point fixe est ω = b/(1 − a).
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