🔄 Δ < 0 : les solutions complexes du second degré
En Première, on t'a dit : « Δ < 0, pas de solution ». C'était vrai… dans ℝ ! Avec le nombre i, qui vérifie i² = −1, toute équation du second degré a des solutions. Et elles ne sortent pas de nulle part : elles se cachent dans la parabole. Retourne-la, fais un quart de tour, et les voilà dans le plan complexe.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- À gauche, la parabole y = ax² + bx + c. Quand Δ < 0, elle reste au-dessus (ou au-dessous) de l'axe des abscisses : aucune solution réelle.
- La parabole retournée (en pointillés violets), symétrique de la première par rapport à la droite horizontale passant par le sommet S, coupe l'axe en A et B, à la distance q = √(−Δ)/(2|a|) de part et d'autre de α.
- Le bouton « 🔄 Quart de tour » fait tourner A et B de 90° autour de α dans le plan complexe : ils tombent exactement sur les solutions z = α ± iq. La partie réelle des solutions est l'abscisse du sommet, leur partie imaginaire est ± q.
- Les deux solutions sont toujours conjuguées : symétriques par rapport à l'axe réel, de même module. Leur produit vaut c/a = |z₁|² et leur somme −b/a = 2α.
- « 🎬 Faire varier c » : les deux solutions réelles se rapprochent sur l'axe réel, se rejoignent quand Δ = 0, puis partent à la verticale, l'une vers le haut, l'autre vers le bas. La trace dessine une croix.
Expériences à faire
- Résous z² − 2z + 5 = 0 à la main, puis vérifie avec l'animation. Quel est le module de chaque solution ?
- Attrape la solution z₂ et place-la en 2 + 3i : quelle équation (avec a = 1) obtiens-tu ? Pourquoi b = −4 et c = 13 ?
- Pour quelle valeur de c l'équation z² + 4z + c = 0 a-t-elle une solution double ? Que se passe-t-il juste au-dessus ?
- Garde b = 0 : où sont toujours les solutions quand Δ < 0 ? Pourquoi ?
- Que deviennent les solutions si tu multiplies a, b et c par le même nombre ? Et si tu changes seulement le signe de a ?
Les maths derrière l'animation
- Pour az² + bz + c = 0 (a, b, c réels, a ≠ 0), on calcule le discriminant Δ = b² − 4ac.
- Si Δ > 0 : deux solutions réelles (−b ± √Δ)/(2a). Si Δ = 0 : une solution double −b/(2a).
- Si Δ < 0 : deux solutions complexes conjuguées z₁ = (−b − i√(−Δ))/(2a) et z₂ = (−b + i√(−Δ))/(2a), car Δ = (i√(−Δ))² avec i² = −1.
- Dans tous les cas : az² + bz + c = a(z − z₁)(z − z₂), z₁ + z₂ = −b/a et z₁z₂ = c/a. Quand Δ < 0, z₁z₂ = z₁ × z̄₁ = |z₁|².
- Lien avec la parabole : la partie réelle des solutions est α = −b/(2a), l'abscisse du sommet ; leur partie imaginaire est ±√(−Δ)/(2|a|) = ±√(β/a), où β = −Δ/(4a) est l'ordonnée du sommet.
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