🎯 Colinéarité, déterminant, alignement et parallélisme
Deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est « le même en plus grand, en plus petit ou à l'envers » que l'autre. Pour le savoir sans se fatiguer, un seul nombre suffit : le déterminant. Et il cache un secret : c'est l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. Aplatis-le jusqu'à zéro, fais mouche avec le laser, et les droites deviendront parallèles toutes seules !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le parallélogramme construit sur u et v a pour aire |det(u, v)| : il est vert quand le déterminant est positif, rouge quand il est négatif, et il devient tout plat quand les vecteurs sont colinéaires.
- Dans le tableau du cadre « 📐 Formules », le déterminant est un produit en croix : la diagonale verte (x × y′) moins la diagonale rouge (x′ × y). Les coordonnées sont proportionnelles quand les deux produits sont égaux.
- Avec « Faire tourner v », l'aire grandit, rétrécit, puis s'annule deux fois par tour : quand v va dans le même sens que u, et quand il va en sens contraire.
- En mode trois points, le laser part de A et passe par B : il touche C exactement quand det(AB, AC) = 0, c'est-à-dire quand A, B et C sont alignés. L'aire du triangle ABC vaut alors 0.
- En mode deux droites, (AB) et (CD) sont parallèles quand AB et CD sont colinéaires ; sinon elles se coupent en un point I dont les coordonnées s'affichent.
Expériences à faire
- Choisis l'exemple « piège » u(3 ; 5) et v(5 ; 8) : les vecteurs semblent colinéaires… le sont-ils vraiment ? Que dit le déterminant ?
- Si u(2 ; 3), trouve trois vecteurs v colinéaires à u. Que vaut le coefficient k à chaque fois ?
- Trois points : déplace C le long du laser. Que vaut k quand C est entre A et B ? Au-delà de B ? Derrière A ?
- Deux droites : comment rendre (AB) et (CD) confondues ? Quels deux déterminants faut-il annuler ?
- Double les coordonnées de u : que devient le déterminant ? Et l'aire du parallélogramme ?
Les maths derrière l'animation
- Dans un repère, le déterminant de u(x ; y) et v(x′ ; y′) est det(u, v) = x y′ − x′ y. En repère orthonormé, |det(u, v)| est l'aire du parallélogramme construit sur u et v.
- u et v sont colinéaires si et seulement si det(u, v) = 0, c'est-à-dire (si u ≠ 0) s'il existe un réel k tel que v = k u : même direction, même sens si k > 0, sens contraires si k < 0. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
- Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires : det(AB, AC) = 0. L'aire du triangle ABC vaut |det(AB, AC)| / 2.
- Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires : det(AB, CD) = 0. Elles sont confondues si, en plus, C appartient à (AB).
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