〰️ Du cercle trigonométrique à la sinusoïde
Le logo d'ExpoSinus n'est pas qu'un joli « e » : c'est un point qui fait le tour d'un cercle et dont la queue se déroule en sinusoïde. Ici, c'est toi qui fais tourner le point M : son ombre sur l'axe vertical, c'est sin θ, et elle dessine la courbe la plus célèbre des sciences. Et clique sur le bouton ✨ pour percer le secret du logo !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le point M a pour coordonnées (cos θ ; sin θ) : le segment bleu, sur l'axe horizontal, mesure cos θ ; le segment orange, vertical, mesure sin θ.
- La ligne pointillée horizontale relie M au point de la courbe : la sinusoïde n'est rien d'autre que la hauteur de M, notée au fil de l'angle.
- Quand M passe sur une valeur remarquable (π/6, π/4, π/3…), elle s'illumine, et les valeurs exactes s'affichent : ½, √2/2, √3/2.
- Après un tour complet (2π rad = 360°), tout recommence : sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
- En mode signal, la longueur du vecteur donne l'amplitude A, sa vitesse de rotation la pulsation ω, et sa position de départ M0 la phase à l'origine φ.
Expériences à faire
- Coche « Tracer aussi cos θ » : de combien faut-il décaler la courbe du sinus pour retrouver celle du cosinus ?
- Place M sur π/6, puis sur 5π/6 (tape 30 puis 150 dans « Angle θ ») : que remarques-tu pour les sinus ? Et pour les cosinus ? Essaie aussi une vitesse négative : M tourne dans le sens horaire.
- Pour quels angles cos θ est-il négatif ? Dans quels quadrants se trouve alors M ?
- En mode signal, double la pulsation ω : que devient la période T ? Et si tu doubles l'amplitude A ?
- Que vaut cos²θ + sin²θ, quel que soit l'angle ? Pourquoi (pense à Pythagore) ?
Les maths derrière l'animation
- Sur le cercle trigonométrique (rayon 1, parcouru dans le sens direct), le point M associé à l'angle θ a pour coordonnées M(cos θ ; sin θ), donc cos²θ + sin²θ = 1.
- Conversion : π rad = 180°, donc θ (en rad) = θ (en degrés) × π / 180. Valeurs remarquables : cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = ½, et l'inverse pour le sinus.
- Sinus et cosinus sont 2π-périodiques : sin(θ + 2π) = sin θ. De plus cos θ = sin(θ + π/2) : le cosinus est un sinus en avance d'un quart de tour.
- Un signal sinusoïdal s'écrit y(t) = A sin(ωt + φ) : amplitude A, pulsation ω (en rad/s), phase à l'origine φ (en rad), période T = 2π/ω et fréquence f = 1/T (en Hz).
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